Produktregeln

För att deriverar en funktion som är en produkt av två funktioner använder vi produktregeln.

Exempelvis är funktionerna $f\left(x\right)=x^2\cdot e^{2x}$ƒ (x)=x²·e^2x  och  $f\left(x\right)=x\cdot\sin x$ƒ (x)=x·sinx funktioner som ska deriveras med produktregeln.

Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.

”Summan mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata”.

Längre ner i texten härleder vi produktregeln. Men vi börjar med att titta på några exempel exempel på hur du använder den. Här nedan använder vi bara produktregeln.

Den första termen i derivatan är alltså första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen. Vidare är den andra termen första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata.

Vi fortsätter nu med ännu ett exempel.

Vi fortsätter med ett tredje exempel.

Detta var exempel där enbart produktregeln används. Men ibland kombinerar man även regeln med andra deriveringsregler så som kedjeregeln eller kvotregeln.

Vi genomför nu ett bevis för produktregeln. Det utgår från derivatans definition. Dessutom kommer beviset att dra slutsatser med hjälp av derivatans definition. I beviset använder vi även att vi kan skriva om gränsvärdet för en produkt enligt följande.

$\lim\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=\lim f\left(x\right)\cdot\lim g\left(x\right)$lim(ƒ (x)·g(x))=limƒ (x)·limg(x)

Enligt derivatans definition gäller att

 $y'=$y´=$\lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{f(x+h)\cdot g\left(x+h\right)-f(x)\cdot g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)·g(x+h)−ƒ (x)·g(x)h 

För att senare kunna bryta ut faktorer som motsvarar ändrings kvoten av de två faktorerna subtraherar och addera vi $f\left(x\right)g\left(x+h\right)$ƒ (x)g(x+h) i täljaren.

$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)\color{red}-f\left(x\right)g\left(x+h\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)\color{black}-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)−ƒ (x)g(x+h)‍+ƒ (x)g(x+h)−ƒ (x)g(x)h 

Nu faktoriserar vi uttrycket i täljaren. Vi bryter ut $\color{orange}g\left(x+h\right)$g(x+h) ur de två första termerna. Därefter bryter vi ut $\color{blue}f\left(x\right)$ƒ (x)ur tredje och fjärde termen och får följande.

$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\color{orange}g\left(x+h\right)\color{black}\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)+\color{blue}f\left(x\right)\color{black}\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))+ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h 

Vi skriver nu om uttrycket som två termer enligt nedan för att skapa större likhet med produktregeln.

$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}+$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))h +$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h‍ =

$\lim\limits_{h \to 0}$ $g\left(x+h\right)$g(x+h) $\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}+$(ƒ (x+h)−ƒ (x))h +$\lim\limits_{h \to 0}$  $f\left(x\right)$ƒ (x)$\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$(g(x+h)−g(x))h 

Tidigare nämnde vi att vi kan skriva om ett gränsvärde av en produkt enligt följande.

$\lim\limits_{h \to 0}$$g\left(x+h\right)\cdot$g(x+h)·$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$(ƒ (x+h)−ƒ (x))h  $+ \lim\limits_{h \to 0}$ $f\left(x\right)\cdot$ƒ (x)·$\lim\limits_{h \to 0}$$\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}$g(x+h)−g(x)h 

Vi beräknar gränsvärdet och låter $h\to0$h→0 och får vi enligt derivatans definition att $g\left(x\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$g(x)ƒ ´(x)+ƒ (x)g´(x) 

vilket är samma sak som

$f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$ƒ ´(x)g(x)+ƒ (x)g´(x)

Vilket skulle bevisas.

• Derivera $y=\sin x \cdot x^2$.
• Derivera $y=\cos x \cdot \sin x$.
• Derivera $y=\sqrt{x} \cdot e^x$.
• Lös ekvationen $f'(x)=0$ om $f(x)=x^2 \cdot e^x$.