Nationellt prov Matematik 2a ht 2015 DEL B och C

I koordinatsystemet är en rät linje $L$L ritad.

a) Ange ekvationen för linjen $L$L på formen $y=kx+m$y=kx+m.

b) Ange ekvationen för en annan rät linje som är parallell med linjen $L$L. 

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\left(5+x\right)^2-x^2$(5+x)²−x² 

b)  $\frac{x^{0,5}\cdot x^{\frac{1}{2}}+2x}{3}$x^0,5·x¹² +2x3  

c)  $\sqrt[3]{3^6}\cdot x-3x$³√3⁶·x−3x 

Från ett kvadratiskt papper med sidan $40$40 cm ska ett kvadratiskt hörn med sidan $x$x cm klippas bort. Se figur.

Arean $A$A cm$^2$² av den återstående delen av papperet ges av $A\left(x\right)=40^2-x^2$A(x)=40²−x² 

a) Ange definitionsmängden för funktionen $A$A .

b) Ange värdemängden för funktionen $A$A.

Faktorisera uttrycket $25x^2-16y^2$25x²−16y² så långt som möjligt.

Två av ekvationerna $A-F$A−F  har $x=\sqrt{3}$x=√3  som en av lösningarna. Vilka två?

A.  $x^2=-3^2$x²=−3² 

B.  $\left(x^2+3\right)\left(x^2-3\right)=0$(x²+3)(x²−3)=0 

C.  $x^2=-3x$x²=−3x 

D.  $x\left(x+\sqrt{3}\right)=0$x(x+√3)=0 

E.   $x^2=3$x²=3 

F.  $\left(x+3\right)\left(x-3\right)=3$(x+3)(x−3)=3 

a) Lös ekvationen och svara exakt.

 $\left(x+1\right)^3=28$(x+1)³=28 

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen $\left(x+1\right)^3=28$(x+1)³=28 ?

A.    $-4,5\le x$−4,5≤x $<-3$<−3

B.        $-3\le x$−3≤x$<-1,5$<−1,5 

C.     $-1,5\le x$−1,5≤x$<0$<0 

D.           $0\le x$0≤x$<1,5$<1,5 

E.         $1,5\le x$1,5≤x$<3$<3 

F.            $3\le x$3≤x$<4,5$<4,5 

Figuren visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ  och en rät linje $g$g.

Använd figuren för att lösa uppgifterna:

a) För vilka värden på $x$x gäller att $f\left(x\right)<-2$ƒ (x)<−2 ?

b) För vilka värden på $x$x gäller att både $f\left(x\right)>0$ƒ (x)>0 och $g\left(x\right)>0$g(x)>0 ?

Bilden visar tre figurer som består av kvadrater. Figurerna bildas enligt ett
mönster. Fler figurer kan bildas enligt samma mönster.

a) Bestäm antalet kvadrater i figur 5

b) Bestäm ett uttryck för antalet kvadrater i figur $n$n.

Lös ekvationen

 $8^{\left(\frac{1}{x}\right)}+8^{\left(\frac{1}{x}\right)}+8^{\left(\frac{1}{x}\right)}+8^{\left(\frac{1}{x}\right)}+8^{\left(\frac{1}{x}\right)}=10$8^(1x )+8^(1x )+8^(1x )+8^(1x )+8^(1x )=10 

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ .

För en annan funktion, $g$g, gäller att $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$g(x)=−ƒ (x) 
Rita grafen till funktionen $g$g i koordinatsystemet.

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a) $x^2+4x-5=0$x²+4x−5=0 

b)  $2x^2+6x-36=0$2x²+6x−36=0 

Grafen till en andragradsfunktion har sin maximipunkt i punkten $P\left(0,\text{ }4\right)$P(0, 4).

Avgör om grafen till andragradsfunktionen kan gå igenom punkten $Q(-2,\text{ }6)$Q(−2, 6). Motivera ditt svar.

Det finns många räta linjer som går genom punkten $\left(10,\text{ }22\right)$(10, 22). En sådan är den räta linjen  $L_1$L₁ med ekvationen $y=1,2x+10$y=1,2x+10 

a) Vilka värden kan $k$k anta för en rät linje $y=kx+m$y=kx+m som endast ska skära linjen $L_1$L₁ i punkten $\left(10,\text{ }22\right)$(10, 22)? Motivera ditt svar.

b) Bestäm en generell formel för $m$m uttryckt i $k$k för alla räta linjer på formen $y=kx+m$y=kx+m  som går genom punkten $\left(10,\text{ }22\right)$(10, 22).

Pelle ska bestämma konstanterna $A$A och $B$B så att likheten  $7\left(A-3x\right)\left(A+3x\right)=28-Bx^2$7(A−3x)(A+3x)=28−Bx² 
gäller för alla värden på $x$x.

Pelle säger:
‒ Enda möjligheten är att $A$A r lika med $-2$−2 och att B är lika med $63$63 

Avgör om Pelle har rätt. Motivera ditt svar.

Valeria börjar träna genom att springa på ett löpband en gång i veckan under 21 veckor. Varje vecka ökar hon distansen med $500$500 meter. Vecka 21 springer Valeria tre gånger så långt som hon sprang vecka 1.

Bestäm hur långt Valeria sprang vecka 1.

Lös ekvationssystemen med algebraisk metod.

a) $\begin{cases} 2x-5y=22 \\ x+5y=-4\end{cases}$

b) $\begin{cases} (10^x)^2 \cdot 10^y = 10^{10} \\ (10^y)^x=10^{12}\end{cases}$

Av två andragradsfunktioner $f$ƒ  och $g$g bildas en ny funktion $h$h enligt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-3\cdot g\left(x\right)$h(x)=ƒ (x)−3·g(x). Avgör vad som alltid måste gälla för att även $h$h ska vara en andragradsfunktion. Motivera ditt svar.