Nationellt prov Matematik 2a vt 2015 DEL B och C

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla.

  (          ) $·\left(x-5\right)=x^2-25$·(x−5)=x²−25

Koordinatsystemet visar en rät linje $L$L och en punkt $P$P som ligger på linjen. 

Ange ekvationen för den räta linjen  $L$L.

Koordinatsystemet visar en rät linje $L$L och en punkt $P$P som ligger på linjen. 

Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen $L$L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten $P$P.

På tallinjen finns sex punkter $A-F$A−F markerade.

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen.

 $99^0$99⁰             $\sqrt{5}$√5            $2^{-1}$2⁻¹          $10^{\frac{1}{2}}$10¹²            $2,1^2$2,1² 

Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen genom att skriva bokstäverna $A-F$A−F i den ordning talen står från vänster till höger.

Två av alternativen $A-E$A−E  visar en ekvation. Vilka två?

A.  $a^2+b^2$a²+b² 

B.  $x^2+6x-5=2$x²+6x−5=2 

C.  $x^2-2x-9$x²−2x−9 

D.  $20+50x$20+50x 

E.  $3x+5x-10=16$3x+5x−10=16 

Lös ekvationen. Svara exakt.

 $x^{\frac{1}{3}}=2$x¹³ =2 

Lös ekvationen. Svara exakt.

 $3\cdot9^x+3\cdot9^x+3\cdot9^x=27$3·9^x+3·9^x+3·9^x=27 

Under år $1998$1998 skickades $44$44 miljoner sms i Sverige. Under år $2012$2012 skickades $16\text{ }514$16 514 miljoner sms. Anta att den årliga procentuella ökningen av antal sms per år har varit lika stor under hela tidsperioden.

Beteckna den årliga förändringsfaktorn med $a$a. Teckna en ekvation med vars hjälp $a$a kan beräknas.

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ  och en andragradsfunktion $g$g.

a) För vilka värden på $x$x gäller att  $g\left(x\right)<3$g(x)<3? 

Besvara frågan med hjälp av graferna.

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ  och en andragradsfunktion $g$g.

b) För vilka värden på $x$x gäller att  $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ƒ (x)−g(x)=0 

Besvara frågan med hjälp av graferna.

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

 $\left(9a\right)^{\frac{1}{2}}\cdot2a^2\cdot\left(4a\right)^{\frac{1}{2}}$(9a)¹² ·2a²·(4a)¹²  

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

 $\frac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$x⁵⁶ (x¹³ +1)(x¹³ −1)x¹⁶ ·x¹³   

Lös andragradsekvationen  $x^2-6x+5=0$x²−6x+5=0 med algebraisk metod.

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y-2x=5\\ 2y-x=4  \end{cases}$ med algebraisk metod.

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} (x+4)(y-2)=(x-5)(y+4)\\ 6y-x-6=2x-y-2  \end{cases}$ med algebraisk metod.

Figuren visar två rektanglar som har sidlängderna $x$x  cm respektive $\left(8-x\right)$(8−x) cm.

Bestäm den största totala area som de två rektanglarna kan ha tillsammans.

Förenkla uttrycket $\frac{a^2-2b}{4}$a²−2b4   så långt som möjligt om $a=2x+1$a=2x+1 och  $b=2x-1,5$b=2x−1,5 

För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2 

a) Visa att grafen till $f$ƒ  går genom punkten $\left(0,-2\right)$(0,−2) oavsett värde på $b$b.

För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2 

b) Bestäm för vilka värden på $b$b som $f$ƒ  endast har ett nollställe.

För andragradsfunktion $g$g gäller att $g\left(x\right)=-0,5x^2+bx-c$g(x)=−0,5x²+bx−c 

c) Bestäm vilket samband som ska gälla mellan $b$b och $c$c för att $g$g endast ska ha ett nollställe.

En cirkel med radien $a$a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

Visa att den mindre cirkelns radie är $a\left(\sqrt{2}-1\right)$a(√2−1) längdenheter.