Nationellt prov Matematik 3c ht 2015 del B och C

Beräkna  $\left|5-8\right|$|5−8| 

Avasjö-Borgafjäll är en observationsstation där SMHI samlar väderdata. Diagrammet visar hur snödjupet (i cm) varierar under en månad med start den 1 april 2013 kl. 07.00.

Besvara följande uppgifter med hjälp av diagrammet.

a) Med vilken genomsnittlig förändringshastighet i cm/dygn minskar snödjupet under perioden 15 april kl. 07.00 till 30 april kl. 07.00?

b) Bestäm förändringshastigheten i cm/dygn för snödjupet den 11 april kl. 07.00.

c) När minskar snödjupet som snabbast? Välj ett av alternativen A–E.
A. 1 april
B. 11 april
C. 14 april
D. 20 april
E. 28 april 

För vilket värde på $x$x är uttrycket $\frac{2x+10}{3x-6}$2x+103x−6  inte definierat?

Förenkla  $x^2\left(x^3+9\right)-\left(3x\right)^2$x²(x³+9)−(3x)²  så långt som möjligt.

Bestäm  $f’\left(x\right)$ƒ ’(x)  om

a)  $f\left(x\right)=3x^4+x^2-5$ƒ (x)=3x⁴+x²−5 

b)  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{kx-1}{4}$kx−14  

Alternativen A–H visar olika trigonometriska uttryck.

a) Vilket av alternativen A–H visar uttrycket med störst värde?

b) Vilket av alternativen A–H visar uttrycket med minst värde?

Grafen till funktionen $f$ƒ är en rät linje, se figur.

Bestäm den övre integrationsgränsen $a$a där $a\ne0$a≠0  så att  $\int_0^af(x)dx=0$∫₀^aƒ (x)dx=0. 

Funktionen  $f$ƒ  beskriver antalet invånare i en kommun som funktion av tiden $t$t, där $t$t är tiden i år efter 1 januari 2013.

I figuren finns fyra tomma rutor. Skriv in de tal och symboler i rutorna som medför att tolkningen av likheten blir:

Under tidsperioden 1 januari 2015 till 1 januari 2020 ökar antalet invånare med $45\text{ }107$45 107  i kommunen.

Bestäm  $\lim_{x\to0}$lim_x→0$\frac{\ln e^x+xe^x}{5x}$lne^x+xe^x5x   

En cirkel med radien $5$5 längdenheter tangerar positiva $x$x-axeln och negativa $y$y-axeln. Bestäm cirkelns ekvation.

Derivatan till  $f\left(x\right)=\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=√π·√x  kan skrivas på formen $f'\left(x\right)=$ƒ ´(x)=$\sqrt{\frac{\pi}{ax}}$√πax . Bestäm konstanten $a$a.

Daniel och Jakob säljer blåbärssaft. Varje flaska kostar  $40$40  kronor. Vilken av graferna  $A$A  eller  $B$B  beskriver bäst inkomsten från försäljningen av blåbärssaften? Motivera ditt svar.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^3-12x$ƒ (x)=x³−12x.
Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, en minimi- eller en terrasspunkt.

Beräkna integralerna algebraiskt.

a)  $\int_0^3(x^2-2)dx$∫₀³(x²−2)dx 

b)  $\int_1^2(x+\frac{1}{x^3})dx$∫₁²(x+1x³ )dx 

Lös ekvationen  $\frac{3}{9-3x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3-x}$39−3x =13 −23−x  

Det gråmarkerade området i figuren begränsas av kurvan  $y=e^{2x}$y=e^2x, linjen  $y=e$y=e  samt den positiva  $y$y-axeln.

Beräkna det gråmarkerade områdets area algebraiskt och svara på så enkel form som möjligt.

För funktionen  $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=2x^2$ƒ (x)=2x². Grafen till funktionen har två tangenter som går genom punkten $\left(-2,-42\right)$(−2,−42), se figur.

Bestäm ekvationen för en av de två tangenterna algebraiskt.