Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik - fortsättning Nivå 2
/ Derivata
Tillämpningar av deriveringsreglerna
Innehåll
Vad berättar derivatan om verkligheten?
När vi tillämpar derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.
När du tittar på hastighetsmätaren i en bil eller scooter ser du egentligen derivatan av sträckan med avseende på tiden. Derivatan mäter alltid en förändring, hur snabbt något ökar eller minskar. I den här lektionen ska vi använda derivatan för att lösa verkliga problem, till exempel hitta det största eller minsta värdet av en funktion, förstå vad derivatans enhet berättar och beräkna derivatan numeriskt när analytisk derivering inte är möjlig.
Optimeringsproblem
När vi tillämpar derivatan handlar många uppgifter om att hitta det största eller minsta värdet som en matematisk modell kan anta.
Vi vet att derivatan alltid är lika med noll i extrempunkterna. Om vi sätter derivatan lika med noll och löser ekvationen får vi på så sätt fram de värden på $x$x som ger det största eller minsta värdet i de lokala extrempunkterna. Kollar vi även ändpunkternas funktionsvärde kan vi på så sätt bestämma det globala maximumet och minimumet.
Vilken enhet har derivatan?
Derivatan definieras som gränsvärdet av en ändringskvot. En ändringskvot definieras som $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$△y△x . Utifrån detta kan vi dra slutsatsen att derivatans enhet vid tillämpning alltid motsvarar $y$y-axelns enhet dividerat med $x$x-axelns enhet. I hastighetsmätarexemplet ovan är $y$y-axeln sträcka (km) och $x$x-axeln tiden i timmar. Derivatan får då enheten km/h, precis som hastighetsmätaren visar.
$\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet= $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet
Ett praktiskt tips är att ställa upp en kvot av enheterna och förenkla om du känner dig osäker på vilken enhet derivatan ska ha.
Exempel 1 — Rörlig kostnad
Kostnaden $K\left(t\right)$K(t) kr för att hyra en eldriven scooter kan beskrivas med modellen $K\left(t\right)=1{,}50t+10$K(t)=1,50t+10 där $t$t är hyrtiden i minuter. Vad är den rörliga minutkostnaden?
Lösning
Vi vill bestämma hur snabbt kostnaden förändras per minut, det vill säga derivatan av $K$K. Vi deriverar funktionen och får att
$K\left(t\right)=1{,}50t+10$K(t)=1,50t+10 ⇒ $K’\left(t\right)=1{,}50$K’(t)=1,50
Derivatans enhet är kronor per minut, eftersom y-axeln är kr och x-axeln är minuter. Den rörliga minutkostnaden är alltså $1{,}50$1,50 kr/minut.
Exempel 2 — Inbromsning
En bil tvingas tvärbromsa. Bilens hastighet under inbromsningen kan beskrivas med funktionen $v\left(t\right)=35-1{,}8t^2$v(t)=35−1,8t2 m/s. Vilken är retardationen efter $2$2 sekunder?
Lösning
Vi vill bestämma hur snabbt hastigheten förändras vid tidpunkten $t=2$t=2, det vill säga derivatans värde där. Vi deriverar funktionen och får att
$v\left(t\right)=35-1{,}8t^2$v(t)=35−1,8t2 ⇒ $v’\left(t\right)=-3{,}6t$v’(t)=−3,6t
Vi sätter in $t=2$t=2 och beräknar derivatans värde.
$v’\left(2\right)=-3{,}6\cdot2=-7{,}2$v’(2)=−3,6·2=−7,2
Det negativa tecknet anger att hastigheten minskar. Retardation är per definition en avtagande hastighet, så vi anger värdet $7{,}2$7,2 utan minustecken — negationen finns redan i ordet retardation, som är motsatsen till acceleration.
Derivatans enhet beräknar vi som
$\frac{\text{meter/sekund}}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}}\cdot\frac{1}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}^2}$meter/sekundsekund =metersekund ·1sekund =metersekund2
vilket förkortat skrivs m/s$^2$2.
Retardationen efter $2$2 sekunder är $7{,}2$7,2 m/s$^2$2.
Enheter och derivatan
Det är även viktigt vid tillämpningar med kedjeregeln att svara med rätt enhet. Man får ledning av enheten i täljaren och nämnaren i kvoterna för de olika delarna i kedjeregeln noterad enligt Leibniz.
Exempelvis gäller att enheter för
$\frac{dV}{dt}$dVdt är $\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Volymens enhetTiden enhet
$\frac{dV}{dh}$dVdh är $\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Höjdens enhet}}$Volymens enhetHöjdens enhet
$\frac{dh}{dt}$dhdt är $\frac{\text{Höjdens enhet}}{\text{Tidens enhet}}$Höjdens enhetTidens enhet
$\frac{dA}{dt}$dAdt är $\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Areans enhetTiden enhet
$\frac{dA}{dr}$dAdr är $\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Areans enhetTiden enhet osv.
Sammansatta funktioner och kedjeregeln
Vid tillämpningar med kedjeregeln är det vanligt att man använder Leibniz notation. Exempelvis anger man förändringshastigheten av en volym enligt bilden.
I tidigare lektioner introducerar vi sammansatta funktioner, kedjeregeln och enklare tillämpningar av dessa. Jobba först igenom de lektionerna om du känner att denna lektion är för avancerad. Vi sammanfattar tidigare genomgångar.
Sammansatta funktioner
Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.
Kedjeregeln – Sammansatta funktioners derivata
Derivatan av en sammansatt funktion är enligt kedjeregeln
$ y´= f´(g(x))⋅g´(x) $
där men kallar
$ f´(g(x)) $ den yttre derivatan och $g´(x)$ den inre derivatan.
Vi repeterar en tillämning med kedjeregeln.
Exempel3 — Kedjeregeln
Från en konisk behållare, med lika stor höjd som radie, droppar en vätska ut med hastigheten $4$4 cm$^3$3/min. 
Bestäm hur snabbt höjden på vätskan förändras när den är $5$5 cm.
Lösning
Vi söker hur snabbt höjden förändras, det vill säga $\frac{dh}{dt}$dhdt . Eftersom att den minskar är värdet negativt.
Vi använder kedjereglen.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$dVdt =dVdh ·dhdt
Förändringshastigheten för vätskans volym i konen med avseende på tiden är
$\frac{dV}{dt}=$dVdt = $-4$−4
eftersom att volymen minskar.
Eftersom att volymen för ett kon ges av $V=$V= $\frac{\pi r^2\cdot h}{3}$πr2·h3 och radien och höjden i denna kon var lika stora, får vi att $V=$V= $\frac{\pi h^2\cdot h}{3}=\frac{\pi h^3}{3}$πh2·h3 =πh33 . Det leder till att $\frac{dV}{dh}$dVdh då $h=5$h=5 är
$\frac{dV}{dh}=$dVdh = $\frac{3\cdot\pi\cdot5^2}{3}=$3·π·523 = $25\pi$25π
Vidare bestämmer vi förändringshastigheten på höjden genom att vi sätter in ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
$-4=25\pi\cdot$−4=25π· $\frac{dr}{dt}$drdt
$\frac{dr}{dt}=-\frac{4}{25\pi}\approx$drdt =−425π ≈ $-0,5$−0,5
Höjden på vätskan i konen minskar med ca $0,5$0,5 cm/min.
Vi påminner om att vi tolkar negativa derivator som en minskning vid tillämpning. Det innebär att vi byter ut minustecknet till ett ord, exempelvis minskar eller avtar, i vårt svar.
Numerisk derivering
Ibland uppstår funktioner som vi ännu inte har regler för att derivera analytiskt. I sådana fall kan vi beräkna ett närmevärde till derivatan numeriskt, antingen med en ändringskvot över ett litet intervall eller med ett digitalt verktyg som GeoGebra. Ju mindre intervall vi väljer, desto bättre approximation får vi — detta är precis vad definitionen av derivatan säger: gränsvärdet när intervallets bredd går mot noll.
Exempel 3 — Numerisk derivering med GeoGebra
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^{1{,}7}\cdot e^x$ƒ (x)=x1,7·ex
a) Beräkna ett närmevärde till $f’\left(3\right)$ƒ ’(3) med hjälp av ändringskvoten $\frac{f\left(3,1\right)-f\left(2,9\right)}{3,1-2,9}$ƒ (3,1)−ƒ (2,9)3,1−2,9
b) Använd GeoGebra för att beräkna ett bättre närmevärde till $f’\left(3\right)$ƒ ’(3)
c) Uppgifterna a) och b) ger inte samma svar. Varför inte?
d) Vad händer med närmevärdet om vi minskar steget från $h=0{,}1$h=0,1 till $h=0{,}001$h=0,001?
e) Bestäm derivatan för $f\left(x\right)$ƒ (x) med ett digitalt verktyg
Lösning
a) Vi använder GeoGebra för att beräkna ändringskvotens värde. Vi skriver in funktionsuttrycket och beräknar sedan kvoten genom att hämta funktionsvärden.
Ändringskvoten ger närmevärdet $f’\left(3\right)\approx204{,}36$ƒ ’(3)≈204,36
b) Vi anger kommandot f'(3) direkt i GeoGebra, vilket utlöser en numerisk beräkning av derivatans värde.
Vi läser av att $f’\left(3\right)=203{,}69$ƒ ’(3)=203,69
c) Ändringskvoten i a) är beräknad för ett relativt stort intervall ($h=0{,}1$h=0,1). Derivatan är gränsvärdet när intervallet krymper mot noll — ju bredare intervall, desto sämre approximation.
d) Om vi minskar steget från $h=0{,}1$h=0,1 till $h=0{,}001$h=0,001 stämmer närmevärdet överens med GeoGebras svar.
e) Vi ber GeoGebra ange derivata åt oss, då vi inte lärt oss deriveringsregler för detta.
Ord och historia — Derivatans ursprung
Ordet derivata kommer från latinets derivare, som betyder leda bort eller härleda. Derivatan ”härleds” ur funktionen. Begreppet uppfanns parallellt och oberoende av varandra, av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz under 1600-talets senare hälft. Newton kallade det fluxion och tänkte på det som en ögonblicklig hastighet, medan Leibniz notation dy/dx är den vi fortfarande använder i dag. Deras samtida tvist om vem som uppfann differentialkalkylen är ett av matematikhistoriens mest berömda prioritetsgräl.
Formler och begrepp vid tillämpning av derivatan
Derivatans definition
$ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
Fyra bra kom ihåg när du deriverar
- Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
- Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
- Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
- Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller under ett rottecken.
När man jobbar med potensfunktioner som är skriva som en kvot med variabeln i nämnaren eller med ett rottecken underlättar man deriveringen mycket genom att skriva om dem i potensform innan man deriverar.
Följande två potensregler är användbara för detta.
$\frac{1}{a^n}$1an $=a^{-n}$=a−n som ger att $\frac{k}{x^n}=$kxn = $kx^{-n}$kx−n
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$n√a=a1n som ger att $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$√x=x12
Polynomen är en av många olika potensfunktioner. Det är samma regel vi använder.
Deriveringsregeln för potensfunktioner
Enligt deriveringsregeln för potensfunktioner har vi att då
$f(x)=kx^n$ƒ (x)=kxn är derivatan $f'(x)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ’(x)=n·kxn−1
Tre bra kom ihåg när du deriverar exponentialfunktioner
- Du bör veta att $\ln e=1$lne=1
- Du kan alltid skiva om basen till talet $e$e med hjälp av den naturliga logaritmen $\ln$ln, efter som att $a=e^{\ln a}$a=elna
- Du kan aldrig multiplicera ihop basen med någon annan faktor i termen.
Deriveringsregler exponentialfunktioner
Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $a$a har vi att då
$f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx är derivatan $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna
Vi får ett specialfall då $a=e$a=e eftersom att $\ln e=1$lne=1 vilket leder till att
$f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx är derivatan $f´(x)=C\cdot e^{kx}\cdot k$ƒ ´(x)=C·ekx·k
Fler deriveringsregler
$ y=a^x $ har derivatan $ y’=a^x\ln a $
$ y = \ln x $ har derivatan $ y’=\dfrac{1}{x} $
Trigonometriska derivator
$ y = \sin x $ har derivatan $ y’=\cos x $
$ y = \cos x $ har derivatan $ y’=-\sin x $
$ y = \tan x $ har derivatan $ y’=\dfrac{1}{\cos^2 x} $
Produktregeln
$ y = f(x)\cdot g(x) $ har derivatan $ y’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) $
Kvotregeln
$ y = \dfrac{f(x)}{g(x)} $ har derivatan $ y’=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2} $
För fler exempel på hur man kan tillämpa och använda derivatan i problemlösning rekommenderar vi att även se lektionerna Kedjeregeln och Förändringshastigheter och Derivata – Kedjeregeln för fördjupning.
Exempel i videon
- Beräkna $f´(\frac{\pi}{3}$ då $f(x)=2\sinx$.
- Ange tangentens i $ x=\frac{\pi}{2} $ till funktionen $f(x)=\cosx$.
- Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig följa funktionen $ y(t)=15+2sin(0,26t) $ där $t$ är antalet timmar efter kl. 12.00.
a) Bestäm $y´(t)$.
b) Beräkna $y´(10)$.
c) Tolka vad $y´(10)$ betyder för vattnets temperatur. - En låda skall konstrueras med förhållanden enligt figuren (se video). Bestäm $x$ så att det blir så stor volym som möjligt.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
I en cykelpark finns en bana med gupp som följer cosinuskurvan $y=0,6\cos\left(0,5x\right)$y=0,6cos(0,5x) i en sträcka på $30$30 meter
$y$y är höjden i meter efter $x$x meter i horisontell riktning.
Beräkna och tolka $y’\left(5\right)$y’(5)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Efter att en patient tagit en tablett ökar koncentrationen av läkemedlet i blodet först när ämnet tas upp av kroppen i mag-tarmkanalen. Koncentrationen minskar sedan långsammare när kroppen bryter ned och utsöndrar läkemedlet.
Under de $12$12 första timmarna beskriver följande funktion koncentrationen i mg/l, $t$t timmar efter att tabletten togs.
$C\left(t\right)=\frac{18t}{t^2+4}$C(t)=18tt2+4
Derivera för hand och beräkna därefter $C’\left(1\right)$C’(1) och $C’\left(8\right)$C’(8) och tolka resultaten.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Vid ett bostadsområde samlas regnvatten i en cylindrisk utjämningstank.
Tanken används för att minska risken att avloppssystemet överbelastas vid kraftig nederbörd. Tanken har en radie på $4$4 m.
Under de tio första timmarna av ett regnoväder modelleras vattendjupet i meter av $h\left(t\right)=1.2+0.35t-0.0125t^2$h(t)=1.2+0.35t−0.0125t2 , $0\text{ }<\text{ }t\text{ }<10$0 < t <10
Bestäm med vilken hastighet vattendjupet förändrades 6 h efter att regnet startade.
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En kub har sidor med längden $s$s cm och volymen $V$V. Kubens volym ökar med $20$20 cm$^3$3/s.
Bestäm hur snabbt längden $s$s ökar då kantlängden är $5$5 cm.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifterFörkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...c-uppgifter (4)
-
5. Premium
Klimatförändringar leder till varmare och torrare somrar, vilket hotar grundvattnet på många platser i Sverige.
Vid ett kommunalt vattenmagasin har vatten till dricksvattenförsörjning och bevattning inom jordbruk pumpats upp under en längre period. När pumpningen avslutas återhämtar sig grundvattennivån gradvis genom att vatten rinner till. Under de första $20$20 dygnen modelleras nivån med
$H\left(t\right)=25-4\left(1+0,1t\right)e^{-0.2t}$H(t)=25−4(1+0,1t)e−0.2t
där $t$t är antalet dygn från det att pumpningen avslutades och $H\left(t\right)$H(t) är höjden i m
Bestäm $H’\left(5\right),\text{ }H’\left(15\right)$H’(5), H’(15), för hand och tolka ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Volymen för en kon kan beräknas med formeln $V=$V=$\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$π·r2·h3 .
Bestäm hur mycket volymen för en kon ökar när höjden är $10$10 cm och ökar med $0,50$0,50 cm/s. Radien är $2,0$2,0 cm och förändras inte.
Ange svar med en decimals noggrannhet och enheten cm$^3$3/s.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter integraler kedjeregelnRättar...7. Premium
Grafen till $f\left(x\right)=\left(2x-3\right)^5$ƒ (x)=(2x−3)5 har en tangent i den punkt där $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 . Bestäm tangentens ekvation.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnFörkunskap: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...8. Premium
Beräkna tangentens ekvation för $x=3$x=3 till kurvan $f(x)=x^2-2x$ƒ (x)=x2−2x .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Matematik 4 problemlösning derivata tangent tangentens ekvationRättar...a-uppgifter (2)
-
9. Premium
I en pelletsbrännare fyller man på en konformad behållare med $5$5 liter pellets. Vinkel i spetsen är $144^{\circ}$144∘. Behållarens har kapats längst ner så att ett hål med diametern $2$2 cm bildats genom vilket pellets rinner ner till själva brännaren. Se figur.
Med vilken hastighet förändras höjden i behållaren då mängden pellets halverats om utströmningshastigheten är $0,7$0,7 liter/timme?
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
10. Premium
Bosse har installerat solceller på sitt villatak. En klar dag i närheten av vårdagjämningen kan en ungefärlig modell av solcellsanläggnings effekt $E\left(t\right)$E(t) i $kW$kW se ut så här:
$E\left(t\right)=\frac{1}{3}\left(12t-t^2\right)\left(1-\frac{1}{6}e^{-\left(\frac{t-8}{3}\right)^2}\right)$E(t)=13 (12t−t2)(1−16 e−(t−83 )2)
där $t$t är antalet timmar efter kl $06:00$06:00.
Modellen bygger på två av de faktorer som påverkar effekt-utvinningen, hur solstrålarnas riktning ändras under dagen samt att verkningsgraden minskar när panelerna blir varmare.
Derivera funktionen för hand och ställ upp den ekvation som behöver lösas för att hitta var funktionen har sina eventuella extrempunkter. Obs ekvationen ska ej lösas för hand
Dubbelkolla dig därefter med geogebra och ta fram det klockslag då solcellerna genererar högst effekt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
A.
Hur ska man veta att man ska ha miniräknaren inställd på radianer i uppgiften om temperaturen i videon?
Tack för bra videos!
Mario
ja det gjorde det. Tack så mycket! 😛
Mario
tjenare.
jag har en fråga, det är så att jag har ett tal i min bok som jag inte kan räkna ut, jag tänkte om du visste hur man löser den.
Den lyder som så att man ska bestämma andraderivatan av 0 då funktionen = (x+1) upphöjt med 9 hur ska jag räkna för att få det till andra derivatan ska vara 72? alltså f´´(0) = 72?
hade varit tacksam för en lösning.
mvh Mario
Endast Premium-användare kan kommentera.