...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Statistik

Introduktion till Statistik

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen lär du dig grunderna i statistiken. Vi tittar på begreppen median, medelvärde, variationsbredd och typvärde. Du får också lära dig mer om grunderna till att göra en statistisk undersökning.

Om Statistik

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

”Det finns lögn, förbannad lögn och så finns det statistik” (Mark Twain)

Citatet här ovan antyder att statistik kanske ibland tolkas som om det ligger ganska långt ifrån matematikens logik och sanningar. Det kanske inte riktigt stämmer men det är viktigt att vara medveten om att det i statistik finns en del av tolkning eller helt enkelt att den som presenterar statistiken försöker styra resultatet åt det håll den vill att det skall tolkas. Det är alltså lätt att bli lurad av statistik så man måste vara uppmärksam, men förhoppningsvis gör den som utför den statistiska undersökningen denna på ett så trovärdigt och objektivt sätt som det bara går.

Statistik kallas den del inom matematiken där man sammanställer, tolkar och analyserar information om något – det kan vara människor, djur, natur eller egentligen vad som helst. Här försöker man hitta mönster, logik, samband och kunna göra slutledningar om t.ex. flera människors åsikter, tankar eller värderingar. Ett vanligt exempel är att man gör en undersökning om vilket parti befolkningen kommer att rösta på i nästa val. Man tar då ett så kallat stickprov på ett tusental människor, och frågar dessa vad de kommer att rösta på. Man väljer att tolka resultatet utifrån att stickprovet representerar hela Sveriges åsikter. Detta matematiska tillvägagångssätt kallas för statistik.

Grundbegrepp inom statistiken

I videon går vi igenom de grundbegrepp du behöver kunna för att själv göra sådana undersökningar. Viktiga grundbegrepp är tex:

Statistik

Den gren inom matematiken som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information kallas statistik.

Datamängd

Alla de olika resultat och/eller mätvärden man får in vid en undersökning kallas för datamängden.

Observation

De resultat och/eller iakttagelser man gör i samband med en undersökning kallas för observationer. Observationerna delas sedan in i olika observationsvärden för att lättare sortera och kategorisera de olika observationerna.

Frekvens

Antalet gånger varje observationsvärde förekommer kallas för observationens frekvens. 

Relativ frekvens

Frekvensen angiven som en andel, oftast i procent, kallas relativ frekvens.

Medelvärde

Medelvärdet anger datamängdens genomsnittliga värde.

 $\text{Medelvärde}=$Medelvärde= $\frac{\text{Summan av alla värden}}{\text{Antal värden}}$Summan av alla värdenAntal värden  

Median

Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

Typvärde

Det vanligast förekommande värdet i en datamängd.

Variationsbredd

Variationsbredden är ett spridningsmått som anger skillnaden mellan det största och det minsta värdet.

Här följer nu ett exempel på hur man beräknar de olika lägesmåtten medelvärde, median, typvärde och variationsbredd.

Exempel 1

Stolpdiagrammet visar hur många mål ett lag gjorde under en säsong.

Stolpdiagram

a) Beräkna medelvärdet av hur många mål laget gjorde per match.

b) Bestäm medianen.

c) Bestäm typvärdet.

d) Bestäm variationsbredden.

Lösning

a) Diagrammet visat att laget spelat fem matcher utan att göra något mål. Vid fyra matcher gjorde de ett mål, två matcher två mål, fyra matcher tre mål och en match gjorde det ett mål. Totalt har alltså laget spelat  $16$16  matcher under säsongen.

Vi beräknar medelvärdet genom att summera det totala antalet gjorda mål med antalet matcher. För att få fram det totala antalet mål, multiplicerar vi antalet mål för var stolpe med frekvensen för den stolpen.

 $\text{Medelvärdet }=$Medelvärdet = $\frac{0\cdot5+1\cdot4+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot1}{16}$0·5+1·4+2·2+3·4+4·116  $=1,5$=1,5 

Medelvärdet är alltså $1,5$1,5 mål per match.

b) Vi bestämmer medianen genom att ställa alla resultat i storleksordning och markera det i mitten. 
 $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }4$0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 

Denna värdemängd har ett jämnt antal värden, $16$16 stycken, och vi får då fram medianen med hjälp av medelvärdet av de två mittersta värdena. Det är värdena $1$1 och $1$1 vilket ger medelvärdet $\frac{1+1}{2}=$1+12 =$1$1 .

Medianen är $1$1 mål.

c) Vi bestämmer typvärdet genom att se vilket poängresultat som har högst frekvens, alltså det resultat som förekommer mest, och ser att det är resultatet noll mål, som laget fått fem gånger.

d) Variationsbredden får vi genom att subtrahera det största värden med det minsta.

 $4-0=4$40=4 

Variationsbredden är $4$4 mål.

Olika diagram

Stolpdiagram

Ett stolpdiagram lämpar sig väl då observationerna motsvarar vissa värden, ofta numeriska heltalsvärden.

Stolpdiagram

Stapeldiagram

Ett stapeldiagram lämpar sig väl då observationerna motsvarar något annat än tal. I stapeldiagrammet är staplarna bredare än i ett stolpdiagram.

Stapeldiagram

Cirkeldiagram

Om man har ett litet antal olika observationer kan cirkeldiagrammet vara ett bra sätt att redovisa sin data.

Cirkeldiagram

De olika sektorerna i cirkeln motsvarar tillsammans  $100\%$100%  av datamängden. Vinkeln för varje sektor beräknas genom att multiplicera andelen i decimalform med  $360^{\circ}$360

Linjediagram

Ett linjediagram är lämpligt när man vill visa hur något förändras över tid.

Linjediagram

Histogram

Då antalet observationer i datamängden är väldigt många kan det vara lämpligt att dela in observationerna i klasser. Det innebär att alla resultat i ett visst intervall hamnar i samma stapel. 

Histogram

Stapelns undre intervallgräns ingår i stapeln medan den övre ingår i följande stapel. För att beräkna medelvärdet i ett histogram använder man klassmitten, vilket motsvarar mitt värdet i varje intervall.

Exempel 2

Beräkna medelvärdet för histogrammet.

Histogram

Lösning

Vi får fram medelvärdet genom att multiplicera varje stapels klassmitt med stapelns frekvens, summera produkterna för att sedan dividera med frekvensen. Klassmitten motsvarar mittvärdet i respektive stapel.

 $\text{Medelvärde}$Medelvärde$\frac{52,5\cdot5+57,5\cdot3+62,5\cdot2+67,5\cdot4+72,5\cdot3}{17}$52,5·5+57,5·3+62,5·2+67,5·4+72,5·317  $\approx61,6$61,6  

Histogrammets medelvärde är ca $61,6$61,6 cm. 

Exempel i videon

  • Beräkna medelvärde, median, variationsbredd och typvärde för längden på 5 personer.
  • Hur en statistisk undersökning kan genomföras.

Kommentarer

Yaiya Siekas

Men snälla Simon Rybrand och Anna Admin, vi är tre stycken som säger att största värdet är 8 och inte 6 eller 5. Alltså måste variationsbredden vara 8 – 1 = 7? Eller har jag blivit helt galen?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Yaiya.

    Se gärna min kommentar till Per-Olov. Hoppas den kan förtydliga hur vi räknat.

Erik Olsson

På första frågan är inte största värdet 6.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej.

    Vi söker inte största värdet utan variationsbredden. Den får du genom att ta största värden minus minsta värdet, vilket i detta fall är $6-1=5$

      Per-Olov Sundman

      Fråga nummer 1: Största värde i stapeldiagrammet är 8 så variationsbredden = 8-1 = 7. Inte 6-1 = 5 som står som ”rätt svar”.

        Anna Admin (Moderator)

        Hej Per-Olov,
        När man talar om ”största värdet” så syftas det i detta fallet på poängen, inte frekvensen. Alltså inte hur många som fått ett enskilt värde, i detta fall olika poängsummor, utan vilka värden, poängsummor. Vi är alltså intresserad av variationsbredden på poängen. Det högsta poängen i uppgiften är $6$ poäng och det minsta $1$. Där av variationsbredden $6-1=5$.

        Skulle vi söka variationsbredden på frekvensen, vilket är mer ovanligt, så skulle vi fått $8-1=7$. Men så var inte fallet här.

Nebosja Kostic Hermods Gymnasium STHL

I uppgift 1. Bestäm variationsbredden på datamängden som redovisas i stapeldiagrammet.
är variationsbredden 8-1=7 och inte 6-1=5 som ni föreslår i facit

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej, det stämmer med $6-1=5$, då det är variationsbredden på poängen som avses.

      Yaiya Siekas

      VA? Största värdet är ju 8 och minsta värdet är 1. Då är väl ändå variationsbredden 7? Annars förstår jag inte

John Parman

Hur räknar man typvärde om det inte finns något exakt likadant förekommande värde såsom : 20, 40, 50, 60, 100 tex

    Simon Rybrand (Moderator)

    Man kanske kan säga att typvärde är ett irrelevant mätvärde med en sådan utfallsmängd. Har du en uppgift på just detta eller är det mer en fundering?

B.E

Hej igen! Äsch förlåt, jag glömde att lista värdena från minsta till högsta. Då blir det ju mycket riktigt 14, inte 20. Sorry!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ingen fara! Fortsatt lycka till med statistiken!

B.E

Hej!

Jag har gjort uppgift 2 i statistikdelen. Ni skriver att medianen blir 14, men det kan ju inte stämma om man räknar. Jag får det till 20, har jag fel och hur tänker ni i så fall? / Boel

Perihan Yildiz Göker

har ni inga mer statistik videos?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jodå det har vi, gå till Matematik 2 och kika under kapitlet Statistik så hittar du mer.

petroffaw

Hej! En fråga om medianvärde på en udda serie som i fråga 2, varför väljs 20 och inte 14?
Med vänliga hälsningar Petra Wikström

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Petra, för att kunna hitta medianvärdet krävs att man ordnar talen i ordningsföljd först. Så när detta är gjort så blir mittentalet (medianen) 14.

Sinisa

32 år som medelåldern när de lämnar första våningen 🙂

    Sackeus

    Hur ser den uträkning ut, som du använder för att komma fram till det?

      Victor Hartman

      (a+b+c+d+e)/5 = 30 år

      a+b+c+d+e = 30 * 5 = 150

      a+b+c+d+X = 150 + 10 = 160

      (a+b+c+d+X)/5 = 160/5 = 32 år

        ilyaas cabdi

        hej!! på den sista fråga gjorde jag så här x+1+4-x+4=9 –> x= 4 Men ni säger x=10 hur? om man lägger ihop alla tre åldrar ” Bo,lasse och Lisa” det ska blir 9 det fattar jag.
        men 3x – 3 / 3 det fattar jag inte, vrf ska man dividera med 3? hur fick ni fram 3x-3
        plus när jag la hopp alla tre då STÄMDE VL=HL x=10 ”Lasse” Z=x+1 –> 11 ”Bo” och ”Lisa” y=4-10=-6 11 + (-6) + 10 inte lika med 9
        ville komma fram till om lägger ihop x+z+y = 9 VL och Hl är inte lika

          Anna Admin (Moderator)

          Hej Ilyaas.

          Det är inte summan av alla åldrarna som är nio, utan medelvärdet av syskonens åldrar. Vi beräknar medelvärden genom att beräkna kvoten mellan summan av alla värden dividerat med antal värden.
          Alltså $\text{Syskonens medelålder}=\frac{\text{Summan av syskonens åldrar}}{\text{Antalet syskon}}$

          Om Lasse är $x$ år, blir summan av syskonens ålder $x+(x+1)+(x-4)=3x-3$ år, eftersom att Bo är ett år äldre än Lasse (x+1) och Lisa fyra år yngre (x-4). Nu kan vi med hjälp av ekvationen $9=\frac{3x-3}{3}$ bestämma $x$.
          Hoppas detta gick att förstå. Hör av dig igen annars.
          Lycka till med ekvationerna!

mitchtimmy

Hej, har ett exempel med medelvärde som jag tycker är svårt

I en hiss som startar från bottenvåningen är medelåldern på personerna i hissen 30 år. Vid nästa stopp, på första våningen, kliver en person ur hissen och en person kliver på. Vad är medelåldern på personerna i hissen när den lämnar första våningen?

(1) Den som kliver på hissen vid första våningen är 10 år äldre än den som kliver ur.
(2) Det är fem personer i hissen när den startar från bottenvåningen.

Miguel

Gjorde ett tal i boken häromdagen och undrat över den sen dess.

Om två tärningar kastas. Vilken händelse har störst sannolikhet att poängsumman blir 5 eller att poängsumman blir 10?

Borde det inte vara svaret vara 10?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det finns fler alternativ som ger summan 5 än summan 10 så det är störst sannolikhet att få summan 5.
    Summan 5 ges av kombinationerna:
    (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) total 4 st.

    Summan 10 ges av kombinationerna:
    (4,6), (5,5), (6,4) total 3 st.

Harryhult

Medianen: Man tar dom två talen i mitten, adderar dom och delar på två.

Om det är ett jämnt antal tal.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för din kommentar
    Precis så fungerar det. Det kan vara viktigt att känna till att medianen beräknas lite olika för olika antal värden i den data man har samlat in vid en undersökning.
    Ojämnt antal värden: Mittentalet är medianen.
    Jämnt antal värden: Medianen är medelvärdet av de två mittersta talen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Simon kastar en tärning fem gånger. Bestäm medelvärdet då tärningens fem kast visar  $1,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }2,\text{ }3$1, 3, 6, 2, 3 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange typvärdet i diagrammet nedan.

    Stapeldiagram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Simon och hans kompisar spelar rollspel och använder en tjugosidig tärning. Simon som älskar statistik kollar vilka tal som slås och antecknar dem; $1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9.

    Vilket är typvärdet?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm variationsbredden på poängen i datamängden som redovisas i stapeldiagrammet.

    Stapeldiagram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange variationsbredden på datamängden nedan.

     $4,\text{ }12,\text{ }1,\text{ }6,\text{ }20,\text{ }8,\text{ }16$4, 12, 1, 6, 20, 8, 16 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är medianen i följande datamängd?

     $1,\text{ }3,\text{ }15,\text{ }14,\text{ }20,\text{ }3,\text{ }16,\text{ }18,\text{ }9$1, 3, 15, 14, 20, 3, 16, 18, 9 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Är medelvärdet, medianen eller typvärdet störst i undersökningen som presenteras i stapeldiagrammet nedan?

    Träna även på att motivera ditt svar.

    Stapeldiagram

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange variationsbredden på datamängden som redovisas i diagrammet nedan.

    Stolpdiagram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Bo, Lasse  och Lisa är syskon. Bo är ett år äldre än Lasse. Lisa är fyra år yngre än Lasse. Deras medelålder är nio år.

    Hur gammal är Lasse?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se