Nationellt prov Matematik 2a vt 2022 DEL B och C

En rät linje med ekvationen $y=-2x+6$y=−2x+6 är ritad i ett koordinatsystem.

a) Vilket värde har $y$y då linjen skär $y$y-axeln?

b) Vilket värde har $x$x då linjen skär $x$x-axeln?

c) Ge ett exempel på en linje som är parallell med linjen $y=-2x+6$y=−2x+6 

Grafen till andragradsfunktionen  $f$ƒ  ,där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x), går genom punkterna,  $D\left(-1,\text{ }0\right)$D(−1, 0),  $E\left(0,\text{ }2\right)$E(0, 2) och  $F\left(4,\text{ }0\right)$F(4, 0).

a) Funktionen $f$ƒ  kan skrivas på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c.
Bestäm konstanten $c$c.

b) Grafen till funktionen $f$ƒ  har en maximipunkt.
Bestäm $x$x-koordinaten för maximipunkten.

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\left(x+5\right)^2-10x$(x+5)²−10x 

b)  $\left(x+3\right)\left(x-3\right)+9$(x+3)(x−3)+9 

c)  $x^5\cdot x^4$x⁵·x⁴ 

a) Figuren visar en kurva som representerar en normalfördelning.

Vilket medelvärde har normalfördelningen?

b) Figuren visar fem kurvor A–E som representerar normalfördelningar.

Vilken av kurvorna A–E representerar den normalfördelning som har den minsta standardavvikelsen?

a) I ett koordinatsystem finns punkten $Q\left(1,\text{ }0\right)$Q(1, 0). Ge ett exempel på koordinaterna för punkten $P$P om avståndet mellan $P$P och $Q$Q är $5$5 längdenheter.

b) Mitt emellan punkterna  $A\left(\frac{1}{2},\text{ }\frac{1}{4}\right)$A(12 , 14 ) och $B$B i ett koordinatsystem ligger punkten  $M\left(1,\text{ }\frac{3}{4}\right)$M(1, 34 ) 

Bestäm koordinaterna för punkten $B$B.

Lös ekvationerna och svara exakt på enklaste form.

a)     $x^5=21$x⁵=21 

b)    $\frac{x^3\cdot x^5}{x^{-3}}=$x³·x⁵x⁻³ =$2$2 

c)     $\left(2x+6\right)^{\frac{1}{2}}=2$(2x+6)¹² =2 

d)   $\left(5987-x\right)^2-2\left(5987-x\right)=0$(5987−x)²−2(5987−x)=0 

Bosse ska bygga en rektangulär hage av $120$120 meter staket till sina två hästar. Längden av hagens ena sida betecknas med  $x$x. Se figur.

Teckna hagens area $A$A som en funktion av $x$x.

Det finns många andragradsfunktioner som har en graf med symmetrilinjen $x=3$x=3 

Ge exempel på en sådan funktion.

Grafen till en andragradsfunktion går genom punkterna $\left(-4,\text{ }6\right)$(−4, 6) och $\left(7,\text{ }6\right)$(7, 6) och funktionen har endast ett nollställe.

Ange funktionens nollställe.

Figuren visar grafen till en funktion $f$ƒ  .

Lös ekvationen  $\frac{f\left(a-3\right)}{2}=$ƒ (a−3)2 =$1,5$1,5 med hjälp av grafen.

På ett matematikprov var det möjligt att få $0$0 till $35$35 poäng. Elevernas resultat på provet sammanställdes i ett lådagram. Se figur.

De elever som var frånvarande vid provtillfället fick göra samma prov veckan efter. Medianen för dessa elevers provresultat blev $20$20 poäng. Den elev som nu lyckades bäst fick $34$34 poäng.
Alla resultat från båda provtillfällena sammanställs i ett nytt lådagram.

Något eller några av påståendena A‒D är sanna. Vilket eller vilka?

Det finns tillräcklig information för att med säkerhet dra slutsatsen att

    A.      det minsta värdet är oförändrat i det nya lådagrammet.
    B.      det största värdet förändras i det nya lådagrammet.
    C.      medianen förändras i det nya lådagrammet.
    D.     andelen elever som fick $9$9 poäng eller mer på provet förändras i det nya lådagrammet.

Lös andragradsekvationen  $x^2+8x+12=0$x²+8x+12=0  med algebraisk metod.

Emma och Sanna har fått i uppgift att lösa ekvationssystemet $\begin{cases} x-y=3,5 \\ 2x+y=5,5\end{cases}$

a) Det finns flera sätt att lösa ett ekvationssystem. Emma börjar med att lösa ut y ur båda ekvationerna och får:

Har Emma löst ut $y$y på ett korrekt sätt ur de båda ekvationerna?
Motivera ditt svar.

b) Sanna påstår att $\begin{cases} x=5 \\ y=1,5\end{cases}$ är en lösning till ekvationssystemet

$\begin{cases} x-y=3,5 \\ 2x+y=5,5\end{cases}$

Har Sanna rätt? Motivera ditt svar.

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 0,2x-0,5y=1,2 \\ x+y+3,5=6 \end{cases} $ med algebraisk metod.

Fiona undersöker två tal där differensen mellan talen är $1$1. Hon påstår att differensen mellan kvadraten av det större talet och kvadraten av det mindre talet är lika stor som summan av talen.

Visa att Fionas påstående alltid stämmer för två tal där differensen mellan talen är $1$1.

Triangeln $ABC$ABC har hörnet $A$A i origo, hörnet $B$B på den positiva $x$x-axeln och hörnet $C$C i den första kvadranten. Hörnen $B$B och $C$C ligger på den räta linjen $y=-1,5x+12$y=−1,5x+12 . Se figur.

Bestäm koordinaterna för punkten $C$C om arean för triangeln $ABC$ABC är $36$36 areaenheter.

Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.

Bestäm $y$y -koordinaten för grafens skärningspunkt med $y$y-axeln.
Förenkla svaret så långt som möjligt och svara exakt.