Nationellt prov Matematik 2c vt 2022 DEL B och C

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\left(x+5\right)^2-10x$(x+5)²−10x 

b)  $\left(x+3\right)\left(x-3\right)+9$(x+3)(x−3)+9 

Grafen till andragradsfunktionen  $f$ƒ  ,där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x), går genom punkterna,  $D\left(-1,\text{ }0\right)$D(−1, 0),  $E\left(0,\text{ }2\right)$E(0, 2) och  $F\left(4,\text{ }0\right)$F(4, 0).

a) Funktionen $f$ƒ  kan skrivas på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c.
Bestäm konstanten $c$c.

b) Grafen till funktionen $f$ƒ  har en maximipunkt.
Bestäm $x$x-koordinaten för maximipunkten.

Nedan anges två påståenden om Lena.

Vilken symbol ska stå i rutan mellan de två påståendena för att argumentationen ska vara korrekt?

a) Figuren visar en kurva som representerar en normalfördelning.

Vilket medelvärde har normalfördelningen?

b) Figuren visar fem kurvor A–E som representerar normalfördelningar.

Vilken av kurvorna A–E representerar den normalfördelning som har den minsta standardavvikelsen?

a) I ett koordinatsystem finns punkten $Q\left(1,\text{ }0\right)$Q(1, 0). Ge ett exempel på koordinaterna för punkten $P$P om avståndet mellan $P$P och $Q$Q är $5$5 längdenheter.

b) Mitt emellan punkterna  $A\left(\frac{1}{2},\text{ }\frac{1}{4}\right)$A(12 , 14 ) och $B$B i ett koordinatsystem ligger punkten  $M\left(1,\text{ }\frac{3}{4}\right)$M(1, 34 ) 

Bestäm koordinaterna för punkten $B$B.

Lös ekvationerna och svara exakt på enklaste form.

a)  $5^x=7$5^x=7 

b)  $3-\sqrt{\sqrt{2x-5}}=0$3−√√2x−5=0 

c)  $\lg200-\lg2+98=10^x$lg200−lg2+98=10^x 

d)  $\left(3x-4\right)\left(4-3x\right)=-9x^2$(3x−4)(4−3x)=−9x² 

e)  $\left(5987-x\right)^2-2\left(5987-x\right)=0$(5987−x)²−2(5987−x)=0 

Bosse ska bygga en rektangulär hage av $120$120 meter staket till sina två hästar. Längden av hagens ena sida betecknas med  $x$x. Se figur.

Teckna hagens area $A$A som en funktion av $x$x.

Det finns många andragradsfunktioner som har en graf med symmetrilinjen $x=3$x=3 

a) Ge exempel på en sådan funktion.

En parabel har samma form som grafen till en andragradsfunktion. Det finns parabler där $x=f\left(y\right)$x=ƒ (y), det vill säga att parabeln ges av en andragradsfunktion $f$ƒ  som är en funktion av $y$y istället för av $x$x .

b) Ge exempel på en ekvation till en parabel med symmetrilinjen $y=0$y=0 

Lös andragradsekvationen  $x^2+8x+12=0$x²+8x+12=0  med algebraisk metod.

Emma och Sanna har fått i uppgift att lösa ekvationssystemet $\begin{cases} x-y=3,5 \\ 2x+y=5,5\end{cases}$

a) Det finns flera sätt att lösa ett ekvationssystem. Emma börjar med att lösa ut y ur båda ekvationerna och får:

Har Emma löst ut $y$y på ett korrekt sätt ur de båda ekvationerna?
Motivera ditt svar.

b) Sanna påstår att $\begin{cases} x=5 \\ y=1,5\end{cases}$ är en lösning till ekvationssystemet

$\begin{cases} x-y=3,5 \\ 2x+y=5,5\end{cases}$

Har Sanna rätt? Motivera ditt svar.

I triangeln $ABC$ABC dras en bisektris från $A$A och en bisektris från $B$B så att bisektriserna skär varandra i $D$D. Bisektriserna bildar en vinkel som är $125^{\circ}$125^∘.

Se figur.

Bestäm vinkeln $v.$v. 

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 0,2x-0,5y=1,2 \\ x+y+3,5=6 \end{cases} $ med algebraisk metod.

Fiona undersöker två tal där differensen mellan talen är $1$1. Hon påstår att differensen mellan kvadraten av det större talet och kvadraten av det mindre talet är lika stor som summan av talen.

Visa att Fionas påstående alltid stämmer för två tal där differensen mellan talen är $1$1.

Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.

Bestäm $y$y -koordinaten för grafens skärningspunkt med $y$y-axeln.
Förenkla svaret så långt som möjligt och svara exakt.

I en butik köper Armand ett rep för $60$60 kr. En annan butik säljer samma typ av rep men där är repet $1$1 kr dyrare per meter. Om Armand hade handlat i den andra butiken hade han fått ett $2$2 meter kortare rep för $60$60 kr.

Bestäm hur långt rep Armand köpte. Prövning godtas inte.