Nationellt prov Matematik 4 ht 2014 del D

Fredrik testar sitt blodtryck med en blodtrycksmätare. Han observerar att blodtryckets högsta värde är $129$129 mmHg och att dess lägsta värde är $83$83 mmHg. Fredrik vill ställa upp en funktion som beskriver blodtrycket och antar att trycket $y$y mmHg varierar enligt sambandet  $y=A\sin kt+B$y=Asinkt+B, där $t$t är tiden i sekunder. Fredrik konstaterar också att tiden mellan två hjärtslag är $1,2$1,2 sekunder, vilket motsvarar perioden för denna funktion.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B och  $k$k.

Ekvationen  $\frac{x}{4}+\sin3x=2,65$x4 +sin3x=2,65  har flera lösningar. Samtliga lösningar ligger i intervallet  $0\le$0≤$x\le6\pi$x≤6π.

a) Bestäm den minsta lösningen till ekvationen. Svara med minst tre värdesiffror. Endast svar krävs.

b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen. Endast svar krävs.

På en biljett till One Direction på Friends Arena står det ”Konserten börjar kl. $21.30$21.30. Arenan öppnas kl. $19.30$19.30.”

Enligt en förenklad modell fylls arenan med hastigheten $y$y besökare/minut, där
 $y=280+\left(210+0,583x\right)\cdot\cos\frac{\pi\cdot x}{40}$y=280+(210+0,583x)·cosπ·x40  
och $x$x är tiden i minuter efter att arenan öppnas.

Modellen antas gälla mellan $19.30$19.30 och $21.30$21.30.

Beräkna antalet besökare i arenan då konserten börjar.

Bestäm arean av det område som begränsas av kurvan  $y=1-2x^2+e^x$y=1−2x²+e^x, de positiva koordinataxlarna och en lodrät linje genom kurvans minimipunkt. Svara med minst tre värdesiffror.

Ange en funktion som har den lodräta asymptoten  $x=1$x=1  och som har den vågräta asymptoten  $y=2,5$y=2,5. Endast svar krävs.

Företaget Konservburken tillverkar konserver med krossade tomater. På en viss sorts burkar med krossade tomater anges att innehållet väger $400$400 gram. Som ett led i företagets kvalitetskontroll vägs innehållet i ett antal burkar. Det visar sig att vikten är normalfördelad med medelvikten $404$404 gram och standardavvikelsen $5,0$5,0 gram. För att uppfylla företagets viktkrav ska burkarna innehålla minst $395$395 gram krossade tomater.

Bestäm sannolikheten att en slumpvis vald konservburk innehåller minst $395$395 gram krossade tomater.

Efter en måltid stiger normalt blodsockerhalten till en början, för att sedan sjunka. Johan har fått sin blodsockerhalt undersökt under en tvåtimmarsperiod efter att han ätit frukost. Enligt en förenklad modell kan blodsockerhalten under denna period beskrivas med sambandet  $y=0,032x^2e^{-0,070x}+4,0$y=0,032x²e^−0,070x+4,0  där $y$y är blodsockerhalten i millimolar och $x$x är tiden i minuter efter frukostens slut.

a) Bestäm med vilken hastighet Johans blodsockerhalt ändras $60$60 minuter efter frukostens slut.

b) Bestäm när Johans blodsockerhalt ökar som snabbast. 

Cecilia och Laila har fått i uppgift att lösa följande problem:

De inser att de först måste bestämma vattenvolymen som funktion av höjden. Cecilia genomför den bestämningen genom att ställa upp en rotationsvolym och kommer fram till  $V\left(h\right)=\frac{\pi}{3}\left(15h^2-h^3\right)$V(h)=π3 (15h²−h³) där $V$V är vattenvolymen i dm$^3$³ och $h$h är vattendjupet i dm.

Sedan använder Laila detta volymuttryck för att beräkna den efterfrågade hastigheten. Hon får svaret $0,051$0,051 dm/min.

a) Använd sambandet  $V\left(h\right)=\frac{\pi}{3}\left(15h^2-h^3\right)$V(h)=π3 (15h²−h³)  och genomför Lailas beräkning.

b) Genomför Cecilias bestämning av formeln  $V\left(h\right)=\frac{\pi}{3}\left(15h^2-h^3\right)$V(h)=π3 (15h²−h³).

I lösningen till b) används cirkelns ekvation, som inte längre ingår i kursen Ma4.

För kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  gäller att  $f\left(x\right)$ƒ (x)$>0$>0  för alla $x$x. Området som begränsas av kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x), linjerna $x=a$x=a och $x=b$x=b samt $x$x-axeln har arean $A$A areaenheter.

En annan kurva definieras av $y=k\cdot f\left(x\right)$y=k·ƒ (x), där $k$k är en konstant och  $k\ne1$k≠1.

Ett annat område begränsas av kurvorna  $y=k\cdot f\left(x\right)$y=k·ƒ (x) och  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) samt av linjerna  $x=a$x=a  och  $x=b$x=b.
Undersök hur arean av detta område beror av $A$A och $k$k.