Nationellt prov Matematik 4 ht 2013 del B och C

Ange ett komplext tal $z$z på formen $z=a+bi$z=a+bi så att

a)  $\text{Im}\text{ }z=4$Im z=4 

b)  $\text{arg }z=45^{\circ}$arg z=45^∘ 

Derivera

a)  $f\left(x\right)=\cos5x$ƒ (x)=cos5x 

b)  $g\left(x\right)=x\cdot e^x$g(x)=x·e^x 

Figuren nedan visar ett komplext talplan där talet $z_1$z₁ är markerat.

a) Beräkna  $\left|z_1\right|$|z₁| 

b) Markera talet  $\overline{z_2}$z₂ i det komplexa talplanet ovan då  $z_2=-5-i$z₂=−5−i 

a) Använd koordinatsystemet nedan och markera ett område vars area kan beräknas med  $\int_{_{-1}}^1\left(3+x\right)dx$∫₋₁¹(3+x)dx  

b) Bestäm värdet av   $\int_{_{-1}}^1\left(3+x\right)dx$∫₋₁¹(3+x)dx 

Figuren visar grafen till funktionen  $y=A\text{ }\sin kx+B$y=A sinkx+B 

Bestäm konstanterna  $A,\text{ }B$A, B och  $k$k 

Ange vilken av följande figurer A-H som visar grafen till funktionen  $f\left(x\right)=2-\left|x-1\right|$ƒ (x)=2−|x−1| 

Bestäm  $\lim_{h\to0}$lim_h→0 $\frac{f(h)-f(0)}{h}$ƒ (h)−ƒ (0)h   då  $f\left(x\right)=2x+\sin x$ƒ (x)=2x+sinx  

En mängd komplexa tal som tillsammans formar bokstaven Z är markerade i det komplexa talplanet.

a) Vilket av alternativen A-I nedan visar den figur som bildas av konjugaten till de tal som formar Z i figuren ovan?

b) Vilket av alternativen A-I nedan visar den figur som bildas då de tal som formar Z i ursprungsfiguren ovan multipliceras med i ?

Ange en funktion $f$ƒ  som har derivatan  $f'(x)=x^2\cdot e\text{ }^{\text{ }x^3+5}$ƒ ’(x)=x²·e ^x3+5 

Markera i det komplexa talplanet de komplexa tal $z$z för vilka det gäller att  $\left|z-4\right|=\left|z-2i\right|$|z−4|=|z−2i| 

Beräkna den sammanlagda arean av de skuggade områdena i figuren nedan.

Visa att  $\sin^2\text{ }30^{\circ}+\cos^2\text{ }30^{\circ}=\sin^2\text{ }51^{\circ}+\cos^2\text{ }51^{\circ}$sin² 30^∘+cos² 30^∘=sin² 51^∘+cos² 51^∘ 

Bestäm det komplexa talet  $z=a+bi$z=a+bi  så att  $\overline{z}+3z=iz+9$z+3z=iz+9 

Ekvationen  $x^3+2x^2+x-18=0$x³+2x²+x−18=0 är given.

a) Visa att $x=2$x=2 är en rot till ekvationen.

b) Bestäm ekvationens övriga rötter.

Figuren nedan visar kurvan  $y=\cos2x$y=cos2x  och linjen  $y=$y= $\frac{1}{2}$12  

Bestäm $x$x-koordinaten för skärningspunkten $P$P 

Lös ekvationen  $z^3+27i=0$z³+27i=0 

För de komplexa talen $z_1$z₁ och $z_2$z₂ gäller att $z_2=z_1\cdot\left(1-i\right)$z₂=z₁·(1−i) och att $z_1$z₁ ligger i området $45^{\circ}<\text{arg}\text{ }z_1<135^{\circ}$45^∘<arg z₁<135^∘ i det komplexa talplanet.

Bestäm i vilket område i det komplexa talplanet talet $z_2$z₂ ligger.

Beräkna  $\int_{_0}^{^1}f”\left(x\right)\text{ }dx$∫₀¹ƒ ”(x) dx   då   $f\left(x\right)=\sin\left(\pi x^2\right)$ƒ (x)=sin(πx²) 

Visa att funktionen  $f\left(x\right)=x^3+3x^2+ax$ƒ (x)=x³+3x²+ax saknar maximi- och minimipunkter om  $a\ge3$a≥3