Nationellt prov Matematik 4 vt 2017 del B och C

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Hur många grader motsvarar vinkeln $\dfrac{\pi}{8}$π8 ?

$f(x) = \cos 3x$f(x)=cos 3x

$f(x) = x^2 \cdot \sin x$f(x)=x²·sin x

$f(x) = (2e^x + 3)^5$f(x)=(2e^x+3)⁵

Beräkna $i^5+3i$i⁵+3i 

Figuren visar grafen till en funktion $f$f.

Funktionen har två asymptoter.
Bestäm ekvationerna för asymptoterna.

Grafen till funktionen $f$f är ritad i ett koordinatsystem.

För vilka värden på $a$a i intervallet $0 < a < 10$0<a<10 gäller att $\int_{_0}^{^a}f\left(x\right)dx=0$∫₀^aƒ (x)dx=0?

Figuren visar ett komplext talplan med cirklar och linjer. Cirklarna har centrum i origo och radierna $1$1, $2$2 och $3$3. Linjerna går genom origo och bildar vinklarna $0°$0°, $15°$15°, $30°$30°, … med positiva reella axeln.

Två komplexa tal $z_1$z₁ och $z_2$z₂ är markerade.

Markera $z_1 \cdot z_2$z₁·z₂ i figuren.

Figuren visar kurvan $y = \sin 2x$y=sin 2x och linjen $y=\sin$y=sin$\frac{\pi}{5}$π5 .

Två skärningspunkter, $A$A och $B$B, är markerade.
Bestäm $x$x-koordinaterna för punkterna $A$A och $B$B.

I ett komplext talplan är punkterna  $P_1,\text{ }P_2,\text{ }P_3,\text{ }\ldots,\text{ }P_{12}$P₁, P₂, P₃, …, P₁₂  markerade på cirkeln $|z| = 3$|z|=3.

Bland dessa punkter finns rötterna till ekvationen $z^3 = -27i$z³=−27i.
Ange de punkter som representerar rötterna till ekvationen $z^3 = -27i$z³=−27i.

Bestäm en primitiv funktion till  $f(x)=\sin2x\cdot\cos^52x$ƒ (x)=sin2x·cos⁵2x 

Delprov C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.

Lös ekvationen $(3z + 2)(z^2 + 6z + 10) = 0$(3z+2)(z²+6z+10)=0

Beräkna $\int\limits_1^e$ $\frac{1}{x}\text{ }$1x  $dx$dx 

För funktionen $f(x) = a + b\ln x$f(x)=a+b ln x, där $a$a och $b$b är konstanter, gäller att $f'(2) = 1$f’(2)=1 och $f(e) = -1$f(e)=−1

Bestäm konstanterna $a$a och $b$b.

Rita grafen till $f(x) = |x – 2|$f(x)=|x−2|.

Julia säger att derivatan är $1$1. Vanessa säger att derivatan är $-1$−1. Fridolin säger att funktionen saknar derivata. Alla tre har delvis rätt.

Ge en korrekt beskrivning av $f'(x)$f’(x). Endast svar krävs.

Visa att $\tan x=$tanx= $\frac{\sin2x}{1+\cos2x}$sin2x1+cos2x  

Lös ekvationen  $2\cos^2x+\sin x=2$2cos²x+sinx=2 

Bestäm de heltal $n > 0$n>0 som gör att uttrycket $(\sqrt{3} + i)^n$(√3+i)ⁿ blir reellt.

Kurvan $y=\sin x$y=sinx tangeras i punkten $P$P av linjen

$y=$y=$\frac{x}{2}+\frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}$x2 +3√3−π6 ,  $x\ge0$x≥0

Se figur.

Bestäm koordinaterna för punkten $P$P. Svara exakt.

Beräkna $\int\limits_2^3$ $\frac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-1}\text{ }$x³−2x²−x+2x²−1  $dx$dx  

I den rätvinkliga triangeln $ABC$ABC dras en sträcka $AD$AD som delar vinkeln vid $A$A i två lika stora vinklar $v$v. Längden av sträckorna $BD$BD och $AD$AD är $1$1 respektive $3$3 längdenheter.

Visa att $x=$x=$\frac{9\sqrt{8}}{7}$9√87