Repetition av Derivata

Derivera $f(x)=3x+2$ƒ (x)=3x+2 

Derivera  $f(x)=x^3$ƒ (x)=x³ 

Derivera  $f\left(x\right)=7x$ƒ (x)=7x 

Derivera  $f\left(x\right)=82$ƒ (x)=82 

Derivera  $f\left(x\right)=5e^{2x}$ƒ (x)=5e^2x 

Låt  $f(x)=3x^3+2x^2-10x+4$ƒ (x)=3x³+2x²−10x+4 . Bestäm  $f´(x)$ƒ ´(x).

Olle och Olga säljer kantareller och funderar på att höja kantarellernas kilopris för att öka dagsinkomsten. De har kommit fram till att dagsinkomsten som funktion av prishöjningen ges av

 $f\left(x\right)=-0,1x^2+5x+3000$ƒ (x)=−0,1x²+5x+3000 

där $f\left(x\right)$ƒ (x) dagsinkomsten i kr och $x$x är prishöjningen i kr/kg.

Beräkna, med hjälp av derivata, vilken prishöjning $x$x som ger den största dagsinkomsten.

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{5}{x^3}$5x³ 

Derivera  $f\left(x\right)=4\sqrt{x}$ƒ (x)=4√x  och förenkla.

Bestäm andraderivatan till  $f(x)=4x^3+3x^2$ƒ (x)=4x³+3x² 

Bestäm $\frac{dV}{dt}$dVdt  om  $V\left(t\right)=3\pi t^2$V(t)=3πt² 

Bestäm $\frac{d^2V}{dt^2}$d²Vdt²   om  $V\left(t\right)=3\pi t^2$V(t)=3πt² 

Låt  $f(x)=2x^4-x^2+12x+e^x$ƒ (x)=2x⁴−x²+12x+e^x. Bestäm  $f´´\left(x\right)$ƒ ´´(x).

Bestäm $f'(x)$ƒ ’(x) om  $f\left(x\right)=-$ƒ (x)=−$\frac{2}{\sqrt{x}}$2√x   

Vilken av graferna nedan skulle kunna vara den ursprungliga funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) då dess andraderivata är $f´´(x)=6x+2$ƒ ´´(x)=6x+2 

Motivera ditt val för att få poäng för resonemang.

Bestäm $f´´\left(9\right)$ƒ ´´(9) om $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{3\sqrt{x}}{2}$3√x2   

Ange svaret på enklaste form.

Temperaturen hos vattnet i en flaska som ställs in i ett kylskåp kan beskrivas med modellen $T\left(x\right)=17e^{-0,693x}+5$T(x)=17e^−0,693x+5 där $T\left(x\right)$T(x) är vattnets temperatur i $°C$°C och $x$x är tiden i timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet.

a) Bestäm vattnets temperatur då flaskan ställs in i kylskåpet. 

b) Bestäm efter hur lång tid vattnets temperatur är $10\text{ }°C$10 °C.

c) Bestäm hur snabbt vattnets temperatur sjunker två timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet. 

d) Enligt modellen kommer vattnets temperatur med tiden att närma sig en undre gräns. Bestäm denna undre gräns med hjälp av modellen.

Grafen till $f\left(x\right)=x^5-5x^2$ƒ (x)=x⁵−5x² har en tangent i punkten $P$P som ligger i fjärde kvadranten.

Tangenten har lutningen $15$15. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.

Bestäm en andragradsfunktion $f$ƒ som uppfyller villkoret att  $f´\left(4\right)=5$ƒ ´(4)=5 

Bestäm $f'(x)$ƒ ’(x) om  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{8x+2e^{-x}}{2}$8x+2e^−x2  

Beräkna  $f´(x)$ƒ ´(x) då  $f(x)=4\cdot2^{2x}-$ƒ (x)=4·2^2x−$\sqrt{\frac{4}{x^2}}$√4x²  

Bestäm $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) med hjälp av derivatans definition då $f\left(x\right)=x^2+3x$ƒ (x)=x²+3x.

Antalet lämlar $N(t)$N(t)  i en lämmelkoloni kunde beskrivas med funktionen  $N(t)=3t(t-3)(t-5)+400$N(t)=3t(t−3)(t−5)+400  då  $0\le t\le8$0≤t≤8  motsvarar antal år efter $2008$2008.

Vilket år ökade kolonin med ca $80$80 lämlar/år?

Ange alla funktioner som har egenskapen att $f(x)=f´(x)$ƒ (x)=ƒ ´(x) där $f(x)\ne0$ƒ (x)≠0.

Visa att $f'(x)=8^x\cdot\ln8$ƒ ’(x)=8^x·ln8  då   $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{2^{-3x}}$12^−‍3x   

Albins vikt kan beskrivas med funktionen $V\left(t\right)=0,10t^3-1,23t^2+6,51t+3,72$V(t)=0,10t³−1,23t²+6,51t+3,72 där vikten $V$V kg är en funktion av tiden $t$t år efter födseln. Funktionen gäller under hans åtta första levnadsår.

Den hastighet som Albins vikt ökar med varierar. Bestäm vilka värden hastigheten kan anta under Albins åtta första levnadsår.

Bestäm $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) med hjälp av derivatans definition då  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{1}{x}$1x 

Din vän häller upp en kopp te för att värma sig lite. Temperaturen i luften där din vän befinner sig är $18$18 °C. Hon mäter temperaturen på teet i koppen direkt när hon häller i det och sedan igen efter $5$5 minuter.

Hon tänker teckna en matematisk modell från sina mätvärden. Hon bestämmer sig för en exponentialfunktion.

Hon sätter $T\left(t\right)$T(t) till teets temperatur i °C och $t$t till tiden i minuter efter att det hälldes upp i koppen. Temperaturen var $80$80 °C vid första mätningen och $61$61 °C vid andra mätningen.

Bestäm och tolka $T’\left(3\right)$T’(3) samt ange huruvida du anser den matematiska modellen vara rimlig eller ej.