Nationellt prov Matematik 4 vt 2022 del B och C

Derivera

a)  $f\left(x\right)=\sin5x$ƒ (x)=sin5x                 $f’\left(x\right)=$ƒ ’(x)= 

b)  $g\left(x\right)=\left(5x+2\right)^{10}$g(x)=(5x+2)¹⁰        $g’\left(x\right)=$g’(x)= 

c)  $h\left(x\right)=x^7\cdot e^x$h(x)=x⁷·e^x                $h’\left(x\right)=$h’(x)= 

Funktionen $f$ƒ  ges av  $f\left(x\right)=2+5\cos4x$ƒ (x)=2+5cos4x .

a) Ange funktionens period.

b) Ange funktionens minsta värde.

Figuren visar kurvan  $y=\sin x$y=sinx  och en punkt $P$P.
Punkten $P$P ligger på kurvan och har $y$y-koordinaten $0$0.

a) Ange $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
     Svara i radianer.

b) Skissa kurvan  $y=\sin\frac{x}{2}$y=sinx2   i koordinatsystemet. Till din hjälp är kurvan  $y=\sin x$y=sinx  inritad.

En kurva ges av  $y=\frac{3}{x+2}+x-1$y=3x+2 +x−1 .

Rita in asymptoterna till kurvan i koordinatsystemet.

Bestäm  $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin^2x+\cos^2x+\sin x\right)dx$∫₀^π2 (sin²x+cos²x+sinx)dx.

Bestäm $\left|z\right|$|z| då  $z=e^{2+i\pi}$z=e^2+iπ.

Figuren visar det komplexa talplanet där talen $z_1$z₁ och $z_2$z₂ är markerade.

a) Bestäm $\overline{z}_1$z₁.

b) Bestäm $\text{arg}\left(z_2-1\right)$arg(z₂−1).

c) Markera alla komplexa tal $z$z som uppfyller  $\text{Re}\text{ }z=\text{Im}\text{ }\left(z+z_2\right)$Re z=Im (z+z₂).

Bestäm  $\int_0^{\pi}\left(g’\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot h’\left(x\right)\right)dx$∫₀^π(g’(x)·h(x)+g(x)·h’(x))dx  då  $g\left(x\right)=\cos x$g(x)=cosx  och  $h\left(x\right)=x^2$h(x)=x².

Ange en icke-reell rot till ekvationen  $z^{10}-1=0$z¹⁰−1=0.

Ett område i första kvadranten begränsas av kurvan  $y=x^{\frac{1}{4}}$y=x¹⁴ , linjen  $y=2$y=2 och  $y$y-axeln. När detta område roterar kring  $y$y-axeln bildas en rotationskropp vars volym ges av  $\pi\int_0^2g\left(y\right)dy$π∫₀²g(y)dy.

Ange funktionen $g$g.

Skriv $\frac{8+6i}{1+2i}$8+6i1+2i  på formen $a+bi$a+bi.

Lös ekvationen  $\sin4x=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x=√32  

Visa att   $\frac{z-\overline{z}}{2i}$z−z2i  $=\text{Im}\text{ }z$=Im z  för alla komplexa tal $z$z.

Funktionerna  $f$ƒ  och  $g$g  ges av  $f\left(z\right)=z^4+2z^3+9z^2-2z-10$ƒ (z)=z⁴+2z³+9z²−2z−10  och  $g\left(z\right)=z^2-1$g(z)=z²−1.

a) Visa att  $f\left(z\right)$ƒ (z)  är delbart med  $g\left(z\right)$g(z).

b) Lös ekvationen  $f\left(z\right)=0$ƒ (z)=0. 

Visa att  $\frac{\sin x}{\cos x-\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}=$sinxcosx−sinx +sinxcosx+sinx =$\tan2x$tan2x  

För vinkeln $v$v gäller villkoren:

•  $\sin^2v=\frac{8}{9}$sin²v=89 
•   $90^{\circ}$90^∘$<$<$v<180^{\circ}$v<180^∘ 

Bestäm $\tan v$tanv. 

Funktionen  $f$ƒ   ges av  $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+1}$ƒ (x)=ax+bx+1 .

Bestäm konstanterna $a$a och $b$b så att  $f\left(1\right)=4$ƒ (1)=4  och  $f’\left(1\right)=3$ƒ ’(1)=3.

Visa att ekvationen  $\sin v\text{ }\cos40^{\circ}=\sin v+\cos v\text{ }\sin40^{\circ}$sinv cos40^∘=sinv+cosv sin40^∘ saknar lösningar i intervallet  $0^{\circ}\le v$0^∘≤v$\le90^{\circ}$≤90^∘.

Funktionen  $f$ƒ   har en primitiv funktion  $F\left(x\right)=3x\text{ }\ln x$F(x)=3x lnx  och funktionen  $g$g  har en primitiv funktion  $G\left(x\right)=x\left(\ln x\right)^2+3x$G(x)=x(lnx)²+3x.

Bestäm rötterna till ekvationen  $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x).