Sammanfattning Matematik 1

När du beräknar värdet av ett uttryck eller löser ekvationer behöver du ta hänsyn till prioriteringsreglerna och använda dem i rätt ordning. Här presenteras de i fallande styrka.

1. Innehåll i parenteser
2. Potenser (”upphöjt till” och ”roten ur”)
3. Multiplikation och Division
4. Addition och Subtraktion

Ett minustecknet är ett tecken för räkneoperationen subtraktion, för att beteckna negativa tal och/eller för att beteckna motsatt tal.

Här har vi samlat reglerna för beräkningar med de fyra räknesätten och negativa tal. För de positiva talen  $a$a och $b$b gäller att

Addition av negativa tal

$a+\left(-b\right)=a-b$a+(−b)=a−b           Olika tecken i följd ersätts med en subtraktion (-).

Subtraktion av negativa tal

$a-\left(-b\right)=a+b$a−(−b)=a+b           Två lika tecken i följd ersätts med en addition (+).

Multiplikation av negativa tal

$a\cdot\left(-b\right)=-a\cdot b$a·(−b)=−a·b
$\left(-a\right)\cdot b=-a\cdot b$(−a)·b=−a·b                      En positiv och en negativ faktor ger en negativ produkt.

$\left(-a\right)\cdot\left(-b\right)=a\cdot b$(−a)·(−b)=a·b                   Lika tecken på faktorerna ger en positiv produkt.

Division av negativa tal

$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{\text{ }b}=-\frac{a}{b}$a−b =−a b =−ab                Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot.

$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$−a−b =ab                                  Lika tecken på täljare och nämnare ger en positiv kvot.

De rationella talen kallas även för bråk. De består av en täljare och en nämnare.

Bråktal skrivs antingen i bråkform eller i blandad form.

När du förlänger eller förkortar ett bråktal, så innebär det att du multiplicerar eller dividerar både täljaren och nämnaren med samma tal. Följande räkneregler gäller för de rationella talen.

Addition

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}+\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{ad+bc}{bd}$ab +cd =ab ·dd +cd ·bb =ad+bcbd 

Subtraktion

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}-\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{ad-bc}{bd}$ab −cd =ab ·dd −cd ·bb =ad−bcbd 

Multiplikation

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ab ·cd =acbd 

Division

 $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ab cd    $=\frac{a}{b}$=ab  $\big/$ $\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c  

Två tal vars produkt är lika med ett är varandras inverser.

Exempelvis är  $\frac{a}{b}$ab   och  $\frac{b}{a}$ba  varandras inverser eftersom att  $\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=$ab ·ba =$1$1

I lektionen Tal och talsystem går vi igenom de olika talmängderna mer ingående, men här repeterar vi dem kort.

Naturligt tal

Alla heltal större eller lika med noll.

$\mathbf{N}=$ { $ 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …$}

Heltal

Mängden av alla naturliga och negativa heltal.

$ \mathbf{Z}=$ { $ …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…$}

Rationellt tal

Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal $a$ och $b$, där $b≠0$.

$ \mathbf{Q}=$ { alla tal $\frac{a}{b}$ab , där $a$ och $b$ är hela tal och $b≠0$}

Irrationellt tal

Reella tal som inte är rationella.

Reella tal

Varje punkt på en kontinuerlig tallinje motsvarar ett reellt tal.

$ \mathbf{R}=$ { alla tal på tal linjen}

I kursen Matematik 1 behöver du kunna omvandla tal mellan följande olika former.

Decimalform

Tal skrivna på en form, med siffror på båda sidor om ett decimaltecknet är skrivna på decimalform. 

 Bråkform

Tal skrivna på formen  $\frac{a}{b}$ab ,  där täljaren $a$ och nämnaren $b$ är hela tal och $b≠0$ är bråktal. Även kallade rationella tal.

Procentform

Tal skrivna på formen $a\%$a%  är skrivna på procentform.

Tal skrivna på formen $a^x$a^x, där $a$a är en bas och $x$x en exponent kallas potenser.  Skrivsättet motsvarar att basen $a$a multipliceras med sig själv $x$x gånger.

Potensregler

För alla reella tal $m$m och $n$n och positiva tal $a$a och $b$b gäller att

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$a^m·aⁿ=a^m+n

$\frac{a^m}{a^n}$a^maⁿ  $=a^{m-n}$=a^m−n

$a^{-n}=$a⁻ⁿ= $\frac{1}{a^n}$1aⁿ    där  $a\ne0$a≠0

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(a^m)ⁿ=a^m·n

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab )ⁿ=aⁿbⁿ 

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a¹ⁿ =ⁿ√a

$a^0=1$a⁰=1

Tal skrivna på formen $ a \cdot 10^b $ där $ 1≤ a <10 $ och $b$ är ett heltal är skrivna på grundpotensform.

Det talsystem som bygger på potenser med basen två kallas för det binära talsystemet.

Tecknen för det binära talsystemet är siffrorna $0$0 och $1$1, vilket innebär att alla binära tal enbart innehåller ettor och nollor. Ettorna motsvarar olika potenser med basen två. Positionen är avgörande för vilken.

Ett primtal är ett heltal som är större än 1 som endast är delbart med talet $1$1 och sig självt. Alla andra heltal är sammansatta tal och kan skrivas som en entydig produkt av primtal.

Primtalsfaktorerna tar du exempelvis fram med hjälp av ett faktorträd. 

Faktorträd ovan ger oss att talet hundra motsvarar primtalsfaktoriseringen $100=2\cdot2\cdot5\cdot5$100=2·2·5·5.

En ekvation är en likhet mellan två uttryck, där åtminstone ett av dem är algebraiskt.

I en ekvation kalls det okända i uttrycket för en variabel. Ofta betecknar man denna med ett $x$. 

Målet när man löser en ekvation är att hitta de värden som gör att vänsterledet är lika med högerledet. Lösningen till ekvationen kallas även för en rot. 

Man kan lösa en ekvation på många olika vis. En del är effektivare än andra. Här är en metod.

Ekvationslösning

1. Förenkla uttrycken i höger och vänsterledet.
2. Samla alla variabeltermer i ena ledet, genom att subtrahera med den minsta variabeltermen på båda sidor om likhetstecknet.
3. Samla alla konstanttermer i ena ledet, genom att addera det motsatta talet till den minsta konstanttermen på båda sidor om likhetstecknet.
4. Multiplicera eller dividera båda leden så att variabelns koefficient blir en etta.

Denna metod fungerar inte alltid, men kan vara en bra ram att utgå från.

Du kan alltid kontrollera att du fått rätt lösning genom att ersätta variabeln i den ursprungliga ekvationen med din rot. En korrekt lösning ger alltid att vänsterledet antar samma värde som högerledet, eller med andra ord,  $VL=HL.$VL=HL. 

Ekvationer med nämnare löser du lättast genom att först multiplicera alla termer med nämnaren, innan du börjar förenkla de två leden.

Om variabeln inte har exponenten $1$1, upphöjer du båda leden till exponentens invers, alternativ drar roten ur, för att få variabeln med grad ett. Se potensekvationer lite längre fram i texten.

För att ange hur stor andel något är av en helhet används följande kvot.

Genom att skriva om formeln kan du beräkna det som är okänt i uppgiften. Andelen kan anges i tre olika former.

Procent innebär hur många hundradelar något är av en helhet. Symbolen % används.

Beroende på hur liten andelen av en helhet är, kan det varar lämpligt att välja att ange den som procent, promille eller ppm.

Vi får att  $1\%=10‰=10\text{ }000$1%=10‰=10 000 ppm

När man jobbar med procentuell förändring kommer användandet av förändringsfaktorn väl till pass. Du beräknar den med följande kvot.

Vid upprepade procentuella förändringar får du den totala förändringsfaktor genom att multiplicera alla förändringsfaktorer med varandra.

Förändringsfaktorn $a<1$a<1 motsvarar en minskning.

Förändringsfaktorn $a>1$a>1 motsvarar en ökning.

Förändringsfaktorn $a=1$a=1 motsvarar ett oförändrat resultat.

Procentenheter anger skillnaden mellan olika procentsatser. Om procent sats ökat från $2,1\%$2,1% till $4,5\%$4,5% motsvaras förändringen av en ökning på $2,4$2,4  procentenheter.

Ett index visar hur värden förändras över tid.

Alla värden i en indextabell utgår från ett så kalla basår.

Basårets index sätts alltid till värdet $100$100. I tabellen ovan är det år $2012$2012 som är basår. Detta gäller då det är år $2012$2012 som har index $100$100. År $2010$2010  var index  $96$96 vilket motsvarar ett $4\%$4%  lägre värde än $2012$2012. År  $2016$2016 var index  $116$116 vilket motsvarar  $21\%$21% högre värde än basåret.

En rät linje kan beskrivas matematiskt med likheten $ y = kx + m $ där bokstäverna i formeln betyder följande.

• $ k $ är en konstant som motsvarar linjens lutning. Konstanten $k$k kallas även riktningskoefficienten och kan beräknas med kvoten

$k=$k=   $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$△y△x =y₂−y₁x₂−x₁  

• $ m $ är en konstant som motsvarar $ y $-värdet där linjen skär $ y $-axeln.
•  $x$x och $y$y variablerna i funktionen som ger alla punkter $\left(x,y\right)$(x,y) på grafen.

Då  $m=0$m=0 får vi funktionen  $y=kx$y=kx. Grafen till funktion går då alltid genom origo.

En funktion på denna form kallas för proportionell och man säger att $y$y är proportionellt mot $x$x. Konstanten  $k$k  kallas då i stället för proportionalitetskonstanten.

En funktion där variabeln återfinns i exponenten är en exponentialfunktion. Den skrivs på formen $y=C\cdot a^x$y=C·a^x  där  $C$C och $a$a är konstanter och $a>0$a>0.

$y$y  motsvarar funktionsvärdet
$C$C motsvarar startvärdet, funktionens värde när  $x=0$x=0
$a$a motsvarar förändringsfaktorn
$x$x  motsvarar ofta antalet förändringar

I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Skriv om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Lösningen till ekvationen motsvarar då $x$x-värdet i den punkt som har ett  $y$y-värde som motsvarar konstanten.

Ovan visas grafen till funktionen  $y=100\cdot1,43^x$y=100·1,43^x . Vi hittar lösningen till ekvationen $600=100\cdot1,43^x$600=100·1,43^x i punkten $\left(5,\text{ }600\right)$(5, 600) då $HL=600$HL=600 när  $x=5$x=5 vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen.

Med hjälp av grafräknaren finner vi lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner och använder därefter grafräknarens funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens $x$x -värdet.

En funktion där variabeln återfinns i basen kallas för en potensfunktion. Den skrivs på formen  $y=k\cdot x^n$y=k·xⁿ  där $k$k och $n$n är konstanter.

En potensekvation är en ekvation där variabeln återfinns i basen. Genom att skriva om ekvationen, så att variabeltermen är ensam i ena leden och har koefficienten ett, kan man sedan lösa ekvationen med roten ur eller upphöja båda leden med exponentens inverterade värde.

Sammanfattningsvis gäller att

Om ekvationen har en jämn exponent, finns det två reella lösningar till ekvationen – en negativ och en positiv lösning.
Om ekvationen har en udda exponent, finns det bara en reell lösning.

Prefix används till att beskriva stora och små tal med hjälp av bokstäver.

I rätvinklig triangel kan förhållandet mellan vinkeln, katetrarna  och  hypotenusan beskrivas med följande samband.

Den gren av matematiken där man studerar vilka egenskaper figurer har. Nedan följer en samling av olika kroppar och geometriska figurer.

I en rätvinklig triangel gäller att den ena kateten i kvadrat adderat med den andra kateten i kvadrat är lika med hypotenusan i kvadrat.

I en triangel är alltid höjden $h$h vinkelrät mot basen $b$b .

$\text{Area}$Area $=\frac{b\cdot h}{2}$=b·h2               

I ett parallellogram är sidorna parvis lika långa och parallella och höjden $h$h är alltid vinkelrät mot basen $b$b .

$Area=b\cdot h$Area=b·h                   

I en parallelltrampets är två sidor parallella och höjden $h$h är alltid vinkelrät mot basen $b$b .

$Area=$Area=  $\frac{h\left(a+b\right)}{2}$h(a+b)2          

I en cirkel är alltid diametern dubbelt så lång som radien.

$Omkrets=\pi\cdot d=\pi\cdot2r$Omkrets=π·d=π·2r

$Area=\pi\cdot r^2=$Area=π·r²= $\frac{\pi\cdot d^2}{4}$π·d²4

En cirkelsektor motsvarar en del av en cirkel.

$B\text{å}gen\text{ }\text{ }b=$Bågen b= $\frac{v}{360^{\circ}}$v360^∘ $\cdot2\pi r$·2πr

$Area=$Area= $\frac{v}{360^{\circ}}$v360^∘ $\cdot\pi r^2$·πr² $=\frac{br}{2}$=br2

Ett prisma är en geometrisk kropp med två baser i form av polygoner. Den ena basen är en parallellförskjutning av den andra och sidoytorna är därför parallellogram. Prismats höjd är det vinkelräta avståndet mellan baserna.

Volymen av ett prisma är arean av basen multiplicerat med höjden.

$Volym=B\cdot h$Volym=B·h där $B$B är basytans area.

En pyramid är en geometrisk kropp med en bas i form av en månghörning. Pyramiden bestäms av basen och en punkt, pyramidens spets, som inte ligger i samma plan som basen. Det vinkelräta avståndet mellan basen och spetsen motsvarar pyramidens höjd $h$h.

$Volym=$Volym=$\frac{Bh}{3}$Bh3

En rak cirkulär kon är en geometrisk kropp som bildas av linjer mellan samtliga punkter på konturen av en cirkel och en punkt utanför planet. Det vinkelräta avståndet mellan basen och spetsen motsvarar konens höjd $h$h. Konens sidlängd $s$s kan beräknas med hjälp av  $s=\sqrt{r^2+h^2}$s=√r²+h² där $r$r motsvarar cirkelns radie.

$Volym=$Volym= $\frac{\pi r^2h}{3}$πr²h3

$Mantelarea=\pi rs$Mantelarea=πrs

Ett klot är en geometrisk solid kropp. Klotets begränsningsyta kallas för en sfär.

$Volym=$Volym= $\frac{4\pi r^3}{3}$4πr³3

$Area=4\pi r^2$Area=4πr²

En cylinder är en geometrisk kropp som avgränsas av två likformiga parallellförskjutna cirklar. Det vinkelräta avståndet mellan ytorna kallas cylinderns höjd $h$h.

$Volym=\pi r^2h$Volym=πr²h

$Mantelarea=2\pi rh$Mantelarea=2πrh

I en kub är alla sidor lika långa.

$Volym=a\cdot a\cdot a=a^3$Volym=a·a·a=a³

$Mantelarea=6\cdot a^2$Mantelarea=6·a²

I skärningspunkten mellan två räta linjer uppstår vinklar.

Dessa vinklar har en mängd olika namn.

Spetsiga vinklar

Om en vinkel är mindre än $90^{\circ}$90^∘ så kallas den för spetsig. En sådan vinkel $v$v är befinner sig i ett storleksintervall 0° < v < 90°.

Räta vinklar

En rät vinkel är lika med $90^{\circ}$90^∘ och en sådan vinkel betecknas med raka streck.

Trubbiga vinklar

En trubbig vinkel är större än $90^{\circ}$90^∘ men mindre än $180^{\circ}$180^∘ (rak vinkel). En sådan vinkel $v$v är befinner sig i ett storleksintervall 90° < v < 180°.

Raka vinklar

En rak vinkel är lika med $180^{\circ}$180^∘.

Vinkelsumman i en triangel är alltid  $180^{\circ}$180^∘ .

En vektor är en storhet som både har en storlek och en riktning.

Koordinatform

En vektor som har sin startpunkt i origo kan anges i koordinatform genom att ange ändpunktens koordinater.

Skalär

En skalär beskrivs som en storhet som endast har en storlek.

• Om vektorn $\vec{v}$ multipliceras med skalären $k\ne1$k≠1 så får vi en ny vektor $k·\vec{v}$ som är $k$ gånger så lång som $\vec{v}$. I koordinatform får vi att  $k\cdot\vec{v}=k\left(x_v,\text{ }y_v\right)=\left(kx_v,\text{ }ky_v\right)$k·→v=k(x_v, y_v)=(kx_v, ky_v)
• Om $k<0$, dvs om $k$ är ett negativt tal, så får vi en ny vektor med motsatt riktning.

Parallellförflyttning

Vektorer kan parallellförflyttas. Det innebära att vektorn kan förflyttas fritt i koordinatsystemet utan att förlora sitt värde, så länge den inte förändras i längd och riktning.

Vektorlängd

Längden på en vektor $ \vec{v}=(a,b) $ beräknas genom

$ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} $

Komposanter och resultant

Om $ \vec{r} = \vec{u}+\vec{v} $ så kallas $\vec{r}$ resultant och $\vec{u},\, \vec{v} $ för komposanter.

Motsatt vektor

Till vektorn $ \vec{v}$ finns en motsatt vektor $ \vec{-v}$

Addition och subtraktion av vektorer

Du bestämmer en summa av vektorer grafiskt, med hjälp av polygonmetoden. Metoden går ut på att vektorerna läggs efter varandra. Första vektors ändpunkt blir nästa vektors startpunkt osv. Summan motsvarar vektorn mellan första vektorns startpunkt till sista vektorns ändpunkt.

Bilden nedan visar $ \vec{u}+\vec{v}=\vec{r} $

Algebraiskt beräknas vektorer på följande vis.

Vektoraddition

$ \vec{v_1}+\vec{v_2} = (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2) $

Vektorsubtraktion

$ \vec{v_1}-\vec{v_2} = (x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2, y_1-y_2) $

När en vektor subtraheras med en annan vektor så görs egentligen en addition av den motsatta vektorn. Detta då

$ \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+ (-\vec{v}) $ och $(-\vec{v})$ är den motsatta vektorn till $\vec{v}$.

Med hjälp av skalfaktorn för längdskalan kan vi bestämma även area och volymskalan.

$\text{Areaskala =(Längdskala)}^2$Areaskala =(Längdskala)²
$\text{Volymskala =(Längdskala)}^3$Volymskala =(Längdskala)³

Statistik redovisas ofta i diagramform. Återvänd till lektionen om Statistik för att se de vanligt förekommande diagrammen. Här följer olika lägesmått och begrepp som ingår att kunna i kursen.

 $\text{Medelvärde}=$Medelvärde= $\frac{\text{Summan av alla värden}}{\text{Antal värden}}$Summan av alla värdenAntal värden 

 $\text{Median}$Median  – Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

$\text{Typvärde}$Typvärde – Det vanligast förekommande värdet i en datamängd.

$\text{Variationsbredd}$Variationsbredd – Skillnaden mellan det största och det minsta värdet

$\text{Frekvens}$Frekvens  – Antalet gånger ett observationsvärde återkommer

$\text{Relativ frekvens}$Relativ frekvens– Frekvensen angiven som en andel, ofta i procent.

Begreppet gynnsamma utfall innebär detsamma som ”alla önskade resultat”, vilket är det vi vill beräkna sannolikheten för.

Begreppet möjliga utfall innebär detsamma som ”alla möjliga resultat”, vilket är alla olika resultat som kan komma att inträffa vid slumpförsöket som vi ska beräkna sannolikheten för.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för ett första val är $P(A)$ och följande val är $P(B)$ så är sannolikheten för att de bägge sker i följd $P(A)\cdot P(B)$. Självklart kan detta utökas till fler antalet val i följd.

Komplementhändelse

Om  $A^c$A^c är komplementhändelse till händelse $A$A gäller att  $P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(A^c)=1

Träddiagram

Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg där flera vägar är möjliga. Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren i träddiagrammet ges av produkten av sannolikheterna längs grenen.

Tyvärr kommer du inte att få tillgång till all information som delas här, i sammanfattning Matematik 1, vid Nationella provet. Följ länken för att se den Formelsamling du får använda vid Nationella provet Matematik 1.

Du kan även med fördel använda dig av några av våra kapiteltest. Samtliga uppgifter har fullständiga förklaringar.

 Kapiteltest – Taluppfattning och aritmetik Ma1a
 Kapiteltest – Taluppfattning och aritmetik Ma1b
 Kapiteltest – Taluppfattning och aritmetik Ma1c
 Kapiteltest – Procent Ma1a
 Kapiteltest – Procent Ma1b
 Kapiteltest – Procent Ma1c
 Kapiteltest – Algebra Ma1a
 Kapiteltest – Algebra Ma1b
 Kapiteltest – Algebra Ma1c
 Kapiteltest – Funktioner Ma 1a
 Kapiteltest – Funktioner Ma1b
 Kapiteltest – Funktioner Ma1c
 Kapiteltest – Geometri Ma 1a
 Kapiteltest – Geometri Ma 1b
 Kapiteltest – Geometri Ma1c
 Kapiteltest – Trigonometri och Vektorer Ma 1a
 Kapiteltest – Trigonometri och Vektorer Ma1c 
 Kapiteltest – Sannolikhetslära Ma1a
 Kapiteltest – Sannolikhetslära Ma1b
 Kapiteltest – Sannolikhetslära  Ma1c
 Kapiteltest – Statistik Ma 1a
 Kapiteltest – Statistik Ma 1b
 Kapiteltest – Statistik Ma 1c
Centrala begrepp Ma1 Del 1
Centrala begrepp Ma1 Del2

Här kan du hitta alla gamla nationella prov att öva på.

Tidigare nationella prov

Formelsamling Nationellt prov Matematik 1