Ljudvågor och stående vågor i pipor

I den här lektionen ska vi titta på ljud och ljudvågor. När vi pratar om ljud menar vi oftast longitudinella vågor i mediet luft men ljudvågor kan färdas i andra medier som t.ex. vatten och metall. I den här lektionen kommer vi dock att uteslutande prata om ljudvågor i luft.

Så vad är ljud och ljudvågor?

Vi har ju i tidigare lektioner pratat om stående vågor i strängar, t.ex. en gitarrsträng. Men hur kommer det sig att vi uppfattar en våg i en sträng som ett visst ljud?

Det första vi måste påminna oss om är att luft är ju en gas och en gas består av otaliga partiklar. Om en gitarrsträng då befinner sig i gasen luft och vibrerar på ett specifikt sätt, dvs. med en specifik frekvens, så kommer partiklarna närmast omkring strängen att börja vibrera på samma sätt, med samma frekvens. Strängen blir alltså en vågkälla. Denna störning i luften kommer sedan att fortskrida utåt i alla riktningar och till sist nå trumhinnan i våra öron som även den kommer börja vibrera med samma frekvens. Örats konstruktion kommer sedan göra så att vibrationerna omvandlas till nervsignaler som till sist når hörselcentrum i våra hjärnor. Hjärnan tolkar sedan till sist dessa signaler som det vi kallar ljud.

I videon tittade vi på en animering där membranet hos en högtalare skapade en störning i luften i form av områden med högre tryck och områden med lägre tryck. Dessa förtätningar och förtunningar färdas sedan genom mediet (dvs. luften) tills de når exempelvis ett öra. Notera att det inte är specifika luftmolekyler som färdas från källan till mottagaren utan återigen är det själva vågorna, dvs. energin, som färdas i mediet. 
Situationen då luftmolekylerna själva färdas längre sträckor är det som vi kallar för vind eller blåst och är ett helt annat fenomen.

Amplituden och perioden hos en longitudinell våg

I animeringen i videon såg vi att om vi tittar på en specifik partikel så rör den sig visserligen men den oscillerar endast kring ett jämviktsläge då områdena med olika tryck passerar. 

Det maximala avståndet som en enskild partikel rör sig kring detta jämviktsläge tolkar vi som amplituden för en longitudinell våg. Vi kan även definiera perioden som den tid det tar för en enskild partikel att göra en hel oscillation kring jämviktsläget. 

Avbilda en longitudinell våg som en transversell våg

Där luftpartiklarna ligger tätare har vi ett lufttryck högre än normalt lufttryck medan vi vid förtunningarna har ett lufttryck lägre än normalt lufttryck. Det är därför vanligt att avbilda en ljudvåg i en graf med tryck på y-axeln och position på x-axeln och som vi sa tidigare så kan vi även tolka en enskild partikels avvikelse från sitt jämviktsläge som vågrörelsens amplitud. Som vanligt kan vi tala om en våglängd om vi har en periodisk våg som avståndet mellan två på varandra följande förtätningar eller förtunningar. Vi ser att en longitudinell vågrörelse går att avbilda som en transversell vågrörelse vilket ofta är mer informativt.

Ljudstyrka och frekvens

Ljudstyrkan, dvs. hur starkt vi uppfattar ett ljud har med oscillationernas storlek att göra dvs. med amplituden. Så ett starkare ljud är förknippat med högre amplitud. Vi kommer titta mer på detta i nästa lektion. 

Ljudets tonhöjd, dvs. om vi uppfattar ljudet som ”ljust” eller ”mörkt” beror på frekvensen eller omvänt på våglängden. När det gäller ljud brukar man dock använda frekvensen för att ange tonhöjden.

Ett exempel är att en ton högre upp till höger på en pianoklaviatur låter ”ljusare” och har en högre frekvens än en ton längre ner (åt vänster) på klaviaturen som ju låter ”mörkare”. Men det vi påverkar om vi anslår en tangent hårdare är amplituden, inte frekvensen.

I figurerna ser vi först en ljudvåg med en viss amplitud och frekvens från t.ex. ett piano. Om vi trycker ned samma tangent fast hårdare får vi en ljudvåg med samma frekvens men med större amplitud. Men om vi istället slår an en ton högre upp på klaviaturen och samtidigt anslår svagare så blir frekvensen högre och amplituden lägre.

Ljudets hastighet

Vi har tidigare pratat om att vågor utbreder sig med en viss bestämd hastighet som beror på mediets elastiska egenskaper. Detta gäller även ljudvågor. När ljudvågorna utbreder sig i luft så brukar man ange hastigheten till $343$343 m/s. Ljudhastigheten är dock beroende av flera faktorer, t.ex. luftens temperatur, luftfuktigheten och luftdensitet och detta värde gäller vid $20\text{ }^{\circ}C$20 ^∘C och torr luft. Notera återigen att med ljudhastigheten menar vi inte hastigheten hos enskilda luftpartiklar utan hastigheten som själva störningen, ljudvågorna, färdas med.

Våghastigheten i ett medium beror bl.a på densiteten och därför är ljudhastigheten snabbare i vätskor och ännu högre i metaller. Som exempel så är ljudets hastighet i vatten ca $1500$1500 m/s och ljudhastigheten i stål ca $6000$6000 m/s. Det känns ju rimligt att det är lättare för partiklarna att knuffa till sina grannar i medier med högre densitet än i lägre vilket ju ger en högre utbredningshastighet.

Precis som vi nämnt tidigare så är våghastigheten $v=\frac{s}{t}$v=st  dvs. $v=\frac{\text{λ}}{T}=\text{λ}f$v=λT =λƒ  . Detta gäller även ljudvågor. Notera återigen att våghastigheten är konstant. Du kan alltså inte spela en ton med en högre frekvens och därmed öka våghastigheten. Det som händer när du ökar frekvensen är att våglängden minskar med samma faktor, vilket håller hastigheten konstant. Du kan inte heller öka hastigheten genom att öka volymen, det som händer då är att amplituden ökar. Du kan alltså inte få någon att höra dig fortare genom att skrika högre. Fundera på hur det skulle låta om du var på en konsert och ljudets hastighet var olika beroende på hur starkt de olika instrumenten spelar. För att ändra ljudhastigheten måste du alltså ändra mediets egenskaper eller byta medium helt och hållet.

Stående vågor i pipor – Halvöppna pipor

En pipa är ett rör och kanske har du spelat på en panflöjt eller något liknande instrument. Varje pipa på en panflöjt består av ett rör som är stängt, ”slutet” i ena änden men öppet i andra änden. Sådana pipor kallas därför halvöppna eller ibland slutna pipor. Man alstrar ljud genom att blåsa i den öppna änden av pipan. Det som händer då är att man sätter luften i pipan i svängning vid den öppna änden och denna svängning fortplantas i luften tills den möter den slutna änden där den reflekteras.

Precis som när vi tittade på stående vågor i strängar så kommer de reflekterade vågorna att interferera med de nya vågor som fördas i pipan åt andra hållet. Beroende på pipans längd så kommer vissa frekvenser att bilda stående vågor i luftpelaren i pipan. Det är detta som alstrar tonen man hör.

Och precis som med stående vågor i strängar så kan stående vågor bildas på flera sätt. I videon tittar vi på flera animeringar som visar hur de stående vågorna bildas i luftpelaren inuti piporna. 

Viktigt att notera nu att i den öppna änden kan ju luften svänga relativt fritt. Här har vi således en buk medan luften vid den slutna änden är hindrad att vibrera och det här bildas en nod. Det blir alltid på detta sätt i pipor. Öppen ände = buk, sluten ände = nod. Denna insikt kommer hjälpa oss när vi löser uppgifter.

Vi tittar nu på de första stående vågorna som kan bildas i en halvöppen pipa.

Eftersom det är svårt att illustrera de longitudinella vågorna i luften så ritar man därför de stående vågorna som bildas i pipor som i figuren nedan men det är viktigt att komma ihåg att detta bara är ett sätt att illustrera den stående vågen. Det som egentligen händer i pipan liknar mer det vi ser i animeringen i videon.

Grundsvängningen, eller grundtonen, får vi då det bildas en buk vid den öppna änden och en nod vid den slutna änden som vi ser i figuren. Det som figuren egentligen illustrerar är partiklarnas förskjutning från sina jämviktslägen, dvs. hur kraftigt de oscillerar på olika platser i pipan.

Om vi kallar pipans längd för L så ser vi att längden i det här fallet motsvarar en fjärdedels våglängd och vi kan skriva att $L=\frac{\text{ }λ_1}{4}$L= λ₁4  . Vi inför återigen ett index $n$n som motsvarar vilken svängning det handlar om, i detta fall är $n=1$n=1. Kan vi få fram frekvensen? Om vi löser ut våglängden ur sambandet och kombinerar $λ_1=4L$λ₁=4L med $v=λ_1f_1$v=λ₁ƒ ₁  så får vi att $f_1=\frac{v}{4L}$ƒ ₁=v4L .

Nästa stående våg, 1:a övertonen, får vi då det bildas en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna, det måste det ju alltid göra, men nu har den stående vågen ytterligare en nod. Det ger en stående våg med två noder och två bukar enligt figuren men hur många våglängder motsvarar detta?

Tittar vi på figuren ser vi att pipans längd motsvarar $3$3 st. fjärdedels våglängder, dvs. $L=\frac{3}{4}λ_2$L=34 λ₂ och $n=2$n=2. Vi får även att $f_2=\frac{3v}{4L}=3f_1$ƒ ₂=3v4L =3ƒ ₁.

Tittar vi på nästa stående våg, 2:a övertonen, så har vi som vanligt en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna men nu försöker vi få in 3 noder. Vi ser nu att vi då får att längden motsvarar 5 fjärdedels våglängder dvs. $L=\frac{5}{4}λ_3$L=54 λ₃ och $n=3$n=3. Frekvensen blir $f_3=\frac{5v}{4L}=5f_1$ƒ ₃=5v4L =5ƒ ₁.

Kan vi urskilja några mönster? Ja vi får att $L=\frac{\left(2n-1\right)\text{λ}}{4}$L=(2n−1)λ4  och att  $f_n=\frac{\left(2n-1\right)v}{4L}=\left(2n-1\right)f_1$ƒ _n=(2n−1)v4L =(2n−1)ƒ ₁ .

Stående vågor i pipor – (hel)öppna pipor

När det gäller pipor som är öppna i båda ändar så är ju luften fri att oscillera där vilket genererar bukar vid ändarna. Dock så kan vi på ett liknande sätt som med halvöppna pipor få stående vågor med olika antal noder. I videon går vi igenom de första stående vågorna och resultatet sammanfattas nedan.

Kommentarer