Ljudvågor och stående vågor i pipor

Vi har i tidigare lektioner pratat om stående vågor i strängar, t ex i en gitarrsträng. Men hur kommer det sig att vi uppfattar en våg i en sträng som ett visst ljud?

Det första vi måste påminna oss om är att luft är en gas och att en gas består av många små partiklar. Om en gitarrsträng då befinner sig i gasen luft och vibrerar på ett specifikt sätt, med en specifik frekvens, kommer partiklarna närmast omkring strängen att börja vibrera på samma sätt, med samma frekvens. Strängen blir alltså en vågkälla. Denna störning i luften kommer sedan att fortskrida utåt i alla riktningar och till sist nå trumhinnan i våra öron, som även den kommer börja vibrera med samma frekvens. Örats konstruktion kommer sedan att göra så att vibrationerna omvandlas till nervsignaler, som skickas till hörselcentrum i våra hjärnor. Hjärnan tolkar sedan till sist dessa signaler som det vi kallar ljud.

I videon tittade vi på en animering där membranet hos en högtalare skapade en störning i luften i form av områden med högre tryck och områden med lägre tryck. Dessa förtätningar och förtunningar färdas sedan genom mediet (luften) tills de når exempelvis ett öra. Notera att det inte är någon specifik luftmolekyl som färdas från källan till mottagaren, utan återigen är det själva vågorna, dvs energin, som färdas i mediet. (Situationen då luftmolekylerna själva färdas längre sträckor är det som vi kallar för vind eller blåst, vilket är ett helt annat fenomen.)

Amplituden och perioden hos en longitudinell våg

I animeringen i videon såg vi att en specifik partikel visserligen rör sig, men den oscillerar endast kring ett jämviktsläge när områdena med olika tryck passerar. 

Det maximala avståndet som en enskild partikel rör sig kring detta jämviktsläge tolkar vi som amplituden för en longitudinell våg. Vi kan även definiera perioden som den tid det tar för en enskild partikel att göra en hel oscillation kring jämviktsläget. 

Avbilda en longitudinell våg som en transversell våg

Där luftpartiklarna ligger tätare har vi ett lufttryck som är högre än normalt, medan vi vid förtunningarna har ett lufttryck som är lägre än normalt. Det är därför vanligt att avbilda en ljudvåg i en graf med tryck på  $y$y-axeln och position på  $x$x-axeln. Som vi tidigare sagt, kan vi även tolka en enskild partikels maximala avvikelse från sitt jämviktsläge som vågrörelsens amplitud. Som vanligt hos en periodisk våg är våglängden avståndet mellan två på varandra följande förtätningar eller förtunningar. Vi ser att en longitudinell vågrörelse går att avbilda som en transversell vågrörelse, vilket ofta är mer informativt.

Ljudstyrka och frekvens

Ljudstyrkan, alltså hur starkt vi uppfattar ett ljud, har med oscillationernas storlek att göra, dvs med amplituden. Ett starkare ljud är förknippat med större amplitud. Vi kommer titta mer på detta i nästa lektion. 

Ljudets tonhöjd, dvs om vi uppfattar ljudet som ”ljust” eller ”mörkt” beror på frekvensen eller omvänt på våglängden. När det gäller ljud är det dock vanligast att använda frekvensen för att ange tonhöjden. En ton högre upp till höger på en pianoklaviatur låter ”ljusare” och har en högre frekvens än en ton längre ner åt vänster på klaviaturen som ju låter ”mörkare”. Om vi anslår en tangent hårdare eller svagare är det amplituden vi påverkar, inte frekvensen.

I figurerna ser vi först en ljudvåg med en viss amplitud och frekvens från t ex ett piano (bild 1). Om vi trycker ned samma tangent fast hårdare får vi en ljudvåg med samma frekvens men med större amplitud (bild 2). Om vi istället slår an en ton högre upp på klaviaturen och samtidigt anslår svagare blir frekvensen högre och amplituden lägre (bild 3).

Ljudets hastighet

Vi har tidigare pratat om att vågor utbreder sig med en viss bestämd hastighet som beror på mediets egenskaper. Detta gäller även ljudvågor. När ljudvågorna utbreder sig i luft brukar hastigheten anges som  $343$343 m/s. Ljudhastigheten är dock beroende av flera faktorer, t ex luftens temperatur, luftfuktigheten och luftdensitet, och detta värde gäller vid $20\text{ }^{\circ}C$20 ^∘C och torr luft. I exempel och övningar här kommer  $340$340  m/s användas för ljudets hastighet i luft (dvs två värdesiffror). Notera återigen att med ljudhastigheten menar vi inte hastigheten hos enskilda luftpartiklar, utan hastigheten som själva störningen, ljudvågorna, färdas med.

Våghastigheten i ett medium beror bland annat på densiteten, och därför är ljudhastigheten högre i vätskor och ännu högre i metaller. Exempelvis är ljudets hastighet i vatten ca $1500$1500 m/s och ljudhastigheten i stål ca $6000$6000 m/s. Det känns ju rimligt att det är lättare för partiklarna att knuffa till sina grannar i medier med högre densitet än i lägre, vilket då också ger en högre utbredningshastighet.

Precis som vi nämnt tidigare är våghastigheten konstant $v=\frac{\bigtriangleup s}{\bigtriangleup t}$v=△s△t , vilket i detta fall kan skrivas som  $v=\frac{\text{λ}}{T}=\text{λ}f$v=λT =λƒ   . Detta gäller även för ljudvågor. Du kan alltså inte spela en ton med en högre frekvens och därmed öka våghastigheten. Det som händer när du ökar frekvensen är att våglängden minskar med samma faktor, vilket håller hastigheten konstant. Du kan inte heller öka hastigheten genom att öka volymen, det som händer då är att amplituden ökar. Fundera på hur det skulle låta om du var på en konsert och ljudets hastighet var olika beroende på hur starkt de olika instrumenten spelar. För att ändra ljudhastigheten måste du alltså ändra mediets egenskaper eller byta medium helt och hållet.

Kanske har du spelat på en panflöjt eller något liknande instrument? Varje pipa på en panflöjt består av ett rör som är stängt, ”slutet” i den ena änden, men öppet i den andra. Sådana pipor kallas därför halvöppna (eller ibland slutna) pipor. Du alstrar ljud genom att blåsa i den öppna änden av pipan. Det som händer då är att luften i pipan sätts i svängning vid den öppna änden. Denna svängning fortplantas i luften tills den möter pipans slutna ände där den då reflekteras.

Precis som i strängar kommer de reflekterade vågorna i pipan att interferera med de nya vågor som färdas i pipan åt andra hållet. Beroende på pipans längd kommer vissa frekvenser att bilda stående vågor i luftpelaren i pipan. Det är detta som alstrar tonen som hörs.

Och precis som med stående vågor i strängar kan stående vågor bildas på flera sätt i pipor. I videon tittar vi på flera animeringar som visar hur de stående vågorna bildas i luftpelaren inuti piporna. 

Viktigt: I den öppna änden kan luften svänga relativt fritt. Här har vi således en buk. Vid den slutna änden är däremot luften hindrad att vibrera, och här bildas därför en nod. Det blir alltid på detta sätt i pipor. Öppen ände innebär alltid en buk, och sluten ände innebär alltid en nod. Detta kommer att hjälpa oss när vi löser uppgifter.

Vi tittar nu på de enklaste stående vågorna som kan bildas i en halvöppen pipa.

Det är svårt att tydligt illustrera de longitudinella vågorna i luften. Därför ritas stående vågor i pipor som i figuren nedan, men det är viktigt att komma ihåg att detta bara är ett sätt att illustrera den stående vågen. Det som egentligen händer i pipan liknar mer det vi ser i animeringen i videon.

Grundsvängningen, eller grundtonen, får vi när det bildas en buk vid den öppna änden och en nod vid den slutna änden, som vi ser i figuren. Det som figuren egentligen illustrerar är partiklarnas förskjutning från sina jämviktslägen, dvs hur kraftigt de oscillerar på olika platser i pipan.

Om vi kallar pipans längd för  $L$L  ser vi att längden i det här fallet motsvarar en fjärdedels våglängd, och vi kan skriva att $L=\frac{\text{ }λ_1}{4}$L= λ₁4  . Vi inför återigen ett index  $n$n  som motsvarar vilken svängning det handlar om, i detta fall är $n=1$n=1. Hur tar vi reda på frekvensen? Om vi löser ut våglängden ur sambandet och kombinerar $λ_1=4L$λ₁=4L  med $v=λ_1f_1$v=λ₁ƒ ₁  får vi att $f_1=\frac{v}{4L}$ƒ ₁=v4L  .

Nästa stående våg, 1:a övertonen, får vi när det bildas en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna, det måste det ju alltid göra, men nu har den stående vågen ytterligare en nod. Det ger en stående våg med två noder och två bukar enligt figuren. Hur många våglängder motsvarar detta?

Vi ser i figuren att pipans längd motsvarar $3$3  fjärdedels våglängder, dvs $L=\frac{3}{4}λ_2$L=34 λ₂  och $n=2$n=2 . Vi får även att $f_2=\frac{3v}{4L}=3f_1$ƒ ₂=3v4L =3ƒ ₁ .

Tittar vi på nästa stående våg, 2:a övertonen, har vi som vanligt en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna, och däremellan  $2$2  noder. pipans längd motsvarar nu  $5$5  fjärdedels våglängder, dvs $L=\frac{5}{4}λ_3$L=54 λ₃  och $n=3$n=3 . Frekvensen blir $f_3=\frac{5v}{4L}=5f_1$ƒ ₃=5v4L =5ƒ ₁ .

Kan vi urskilja några mönster?

Ja, vi får att $L=\frac{\left(2n-1\right)\text{λ}}{4}$L=(2n−1)λ4   och att  $f_n=\frac{\left(2n-1\right)v}{4L}=\left(2n-1\right)f_1$ƒ _n=(2n−1)v4L =(2n−1)ƒ ₁ .

När det gäller pipor som är öppna i båda ändar uppstår bukar vid båda ändarna. På ett liknande sätt som med halvöppna pipor får vi stående vågor med olika antal noder. I videon går vi igenom de första stående vågorna i helöppna pipor, och resultatet sammanfattas nedan.

Observera: I alla övningsuppgifter utgår vi från att ljudets hastighet i luft är $340$340 m/s.