Sammanfattning Matematik 3

En funktion är en regel som till varje tillåtet $x$x-värde ger exakt ett $y$y -värde. Du kan kontrollera om en graf är en funktionen med hjälp av vertikaltestet.

Definitionsmängden är de tillåtna $x$x-värdena
Värdemängden är de erhållna $y$y-värdena

Funktioner delas in i kontinuerliga eller diskontinuerliga funktioner.

En funktion $f$ƒ  är kontinuerlig då den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd. 

I denna kurs har vi titta lite extra på funktionen till en diskret definitionsmängd. I en diskret mängd innehåller endast isolerade punkter, punkter som är ensamma i ett intervall kring punkten som tillhör definitionsmängden. Denna egenskap ger en graf som består av isolerade punkter i stället för en sammanbunden graf.

Alla polynomfunktioner, rationella funktioner och diskreta funktioner är kontinuerliga. 

Om en funktion inte är kontinuerlig för alla punkter tillhörande definitionsmängden, är den diskontinuerlig. Det visar sig genom att grafer som tillhör en diskontinuerlig funktion innehåller ett eller flera ”glapp” även för $x$x-värden som tillhör definitionsmängden.

Polynom är en summa av termer där variabeln är i basen och alla exponenter tillhör de naturliga talen. Alla polynom kan skrivas i faktorform. 

En stor del av Matematik 3 handlar om att behärska algebra och alla dess olika räkneregler. Här sammanfattar vi de viktigaste du behöver kunna för att klara kursen.

Rationella uttryck definieras som en kvot av två polynom.

Mer matematiskt definierar vi att ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)≠0

Genom att behärska kvadreringsreglerna och konjugatregeln kan du skriva om uttryck till faktorer, som du förhoppningsvis kan förkorta och på så vis förenkla tillsynes komplicerade rationella uttryck.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b²

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(a−b)²=a²−2ab+b²

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a−b)=a²−b²

När du har täljare och nämnare som innehåller identiska faktorer kan du förkorta bort dessa. Om så inte är fallet kan vid vissa tillfällen skapa uttryck som är identiska. Detta fungerar då uttrycken endast skiljer sig på så vis att de har olika tecken. Genom att bryta ut en minusetta ur en av faktorerna kan du då skriva om dem till samma tecken. Följande kunskap är alltså användbar.

$\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(a−b)=(−1)(b−a)

För alla reella tal $m$m och $n$n och positiva tal $a$a och $b$b gäller att

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$a^m·aⁿ=a^m+n

$\frac{a^m}{a^n}$a^maⁿ  $=a^{m-n}$=a^m−n

$a^{-n}=$a⁻ⁿ= $\frac{1}{a^n}$1aⁿ    där  $a\ne0$a≠0

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(a^m)ⁿ=a^m·n

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab )ⁿ=aⁿbⁿ 

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a¹ⁿ =ⁿ√a

$a^0=1$a⁰=1

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$√a·b=√a·√b

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$√ab =√a√b 

Avståndet mellan två punkter $x$x och $y$y kan anges med absolutbeloppet $\left|x-y\right|$|x−y|.

För reella tal definieras absolutbeloppet på följande vis.

$ |x|=\sqrt{x^2}= \begin{cases} x \text{ om } x ≥ 0 \\ -x \text{ om } x < 0 \end{cases} $

Definitionen innebär att absolutbeloppet av ett tal alltid är positivt.

Om exempelvis $x=4$x=4  så är även det absolutbeloppet positivt då vi från definitionen ser att
 $\left|4\right|=4$|4|=4 

Och om  $x=-4$x=−4  så gäller alltså att $\left|-4\right|=-\left(-4\right)=4$|−4|=−(−4)=4 

Andragradsfunktioner

Andragradsfunktionen är en av polynomfunktionerna. Här repeterar vi kort de olika begreppen.

Mer ingående förklaringar och övningsuppgifter hittar du i lektionen Vad är en andragradsfunktion?

Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c påverkar parabeln utseende.

Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skissen är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

En grundläggande minnesregel kan vara att

För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.

Tänk på att aldrig dividera bort en variabel vid ekvationslösning. Du riskerar att förlora lösningar!

En ekvation kan ha lika många lösningar som ekvationens gradtal, alltså polynomets största exponent för variabeln. Lösningarna kallas för rötter. Tex. andragradsekvationer kan ha två lösningar, tredjegradsekvationer tre och femtegradsekvationer fem lösningar. I vissa fall sammanfaller vissa lösningar, alltså en dubbelrot,  trippelrot o.s.v.

När man löser en ekvation genom kvadrering kan även en så kallad falsk rot smyga sig med. Alltså en rot som inte ger en likhet i ursprungsekvationen. Testa därför alltid dina rötter i den ursprungliga ekvationen när du kvadrerat.

Kontrollera även om det finns x-värden som inte är definierade. Vanligtvis är de odefinierade x-värdena de värden på $x$x  som gör att nämnaren blir noll eller vid logaritmering, negativa $x$x -värden eftersom att 

1) Nollproduktmetoden – Denna metod är mycket användbar i denna kurs, eftersom att vi ofta ska ta fram derivatans nollställen. Har du termer vars summa är lika med noll så lär det vara denna metod som är mest effektiv!

2) Kvadratrotsmetoden

3) Lösningsformeln även kallad PQ för andragradsekvationen

4) Grafisk lösning – Rita HL och VL som två olika funktioner och läs av skärningspunktens x- värden, de motsvarar ekvationens lösning. Finns inga skärningspunkter saknar ekvationen reella lösningar. I exemplet nedan söks lösningen till f(x)=0

5) Logaritmer –  Två vanliga baser är basen $10$10 och e. De har därför fått egna beteckningar. 

 $\log_{10}=\lg$log₁₀=lg och  $\log_e=\ln$log_e=ln 

Enligt logaritmlagar är

 $10^x=y$10^x=y   $⇔$⇔    $x=\lg y$x=lgy 

och

$e^x=b$e^x=b   $⇔$⇔   $x=\ln b$x=lnb.

En ekvation med variabeln i exponenten löser vi genom att ta logaritmen på båda leden. 

Vi kan läsa både $e^x=b$e^x=b och $x=\ln b$x=lnb som

”Talet x är det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet b.”

ln utläses som “det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli…”

Genom att bestämma en sekant eller tangent kan vi uppskatta en funktions förändring.

Sekanten ger förändringen i ett intervall. Tangenten ger förändringen i en punkt.

Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Du väljer ett värde med samma avstånd framåt som bakåt i förhållande till punkten du ska bestämma ändringskvoten till och beräknar sedan 

Genomsnittlig förändringshastighet $=\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$=Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =△y△x 

Återvänd till lektionen om Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter för att repetera numeriska och grafiska ändringskvoter.

För att får ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Tex  $h=\pm0,000\text{ }001$h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, ju bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.

Gränsvärdet inför vi för att kunna definiera derivatan algebraiskt.

För vissa uttryck och funktioner kan man beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver man först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet.

Derivatans värde kan beskrivas som…

• kurvans lutning i en punkt, vilket är det samma som tangentens lutning i punkten.
• förändringshastigheten i en punkt på kurvan.

Utifrån derivatans definition har man tagit fram deriveringsregler. Det finns två deriveringsregler. En för potensfunktioner och en för exponentialfunktioner.

TIPS

• Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
• Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
• Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

• Om funktionen har variabeln i nämnaren eller under ett rottecken, så skriv om den i potensform för att sedan tillämpa deriveringsreglerna.
• Vi har inte lärt oss deriveringsregeln för produkter. Skriv om uttrycket till termer och derivata term för term.

Viktigt att komma ihåg att  $a^0=1$a⁰=1 

$\ln$ln står för den naturliga logaritmen, som är logaritmen med basen $e$e .

Därför är derivatan för exponentialfunktioner med basen $e$e extra lätt. Detta eftersom att $\ln e=1$lne=1 och vi får att derivatan är densamma som ursprungs funktionen om koefficienten i exponenten är lika med ett. Så fort du får $\ln e$lne så beräknar du det. Det ska inte finnas med i svaret.

Närmevärdet till talet $e\approx2,71828$e≈2,71828 

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

Du får alltså INTE multiplicera basen med faktorn $k$k eller $\ln a$lna i   $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot lna$ƒ ´(x)=C·a^kx·lna 

Med derivatan kan vi analysera funktionens utseende och egenskaper.

När funktionen är växande är derivatan positiv och alla tangenter i intervallet har en positiv lutning.

När funktionen är avtagande är derivatan negativ och alla tangenter i intervallet har en negativ lutning.

I extrempunkterna är  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0 . I dessa punkter hittar du lokala och eventuellt globala max och minimipunkter. Alla extrempunkter kan verifieras med antingen med

1) Teckentabell

2) Andraderivatan

 $f”(x)<0$ƒ ”(x)<0 ger att punkten där $x=a$x=a är en maximipunkt

 $f”(x)>0$ƒ ”(x)>0 ger att punkten där $x=b$x=b är en minimipunkt

3) Skiss och resonemang kring kurvans egenskaper. Tänk då på att det är funktionen och inte derivatans graf du ska föra ditt resonemang kring.

 $f(x)$ƒ (x) har en extrempunkt då  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0   

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en maximipunkt då  $f”(x)<0$ƒ ”(x)<0 

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en minimipunkt då $f”(x)>0$ƒ ”(x)>0   

Då $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger att $f”(x)=0$ƒ ”(x)=0  måste karaktären bestämmas med en teckentabell.

I teckentabellen får du en bild av grafens utseende.

Om du vill göra en mer noggrann skiss räknar du fram $y$y-koordinaterna för extrempunkterna genom att sätta in  $x$x-värdena i funktionsuttrycket. Du kan med fördel även bestämma var kurvan skär $y$y-axeln. Punkten motsvarar alltid konstanttermen i uttrycket, eftersom att att $x=0$x=0 i denna punkt. Du kan även bestäm även funktionens nollställen, alltså där grafen skär $x$x -axeln, där $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 eller någon annan valfri punkt på grafen för att få en ännu noggrannare skiss.

Funktionen $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) om

 $F'(x)=f\left(x\right)$F’(x)=ƒ (x) 

Alltså om den primitiva funktionen $F:s$F:s derivata är lika med funktionen $f$ƒ  .

Men hjälp av en punkt på grafen kan man bestämma konstanten $C$C. Har du ingen punkt kan du ta fram en genom att sätta in ett värde på $x$x som ingår i definitionsmängden och beräkna funktionsvärdet $f\left(x\right)$ƒ (x) och på så sätt få punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av alla förändringar i ett intervall.

Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean mellan en funktions kurva och $x$x-axeln i ett intervall.

Var noga med att få rätt på alla tecken när du beräknar integralen! Ett tips kan vara att behålla parentesen och beräkna värdet i varje parentes innan subtraktionen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)−F(a) utförs.

I lektionen Tillämpning av integraler kan du repeterar sambandet mellan integralen och integranden.

I rätvinklig triangel kan förhållandet mellan vinkeln, katetrarna  och  hypotenusan beskrivas med följande samband.

Med hjälp av en rätvinklig triangel och Pythagoras sats kan vi ta fram cirkelns ekvation.

$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r²=(x−a)²+(y−b)² 

där

•  $r$r  motsvarar cirkelns radie
• $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) motsvarar en punkt på cirkelns rand
• $\left(a,b\right)$(a,b) motsvarar cirkelns medelpunkt

Utifrån cirkelns ekvation kan vi skapa enhetscirkeln.

En enhetscirkel är en cirkel med sin medelpunkt i origo och radien $1$1 l.e. Vinkeln $v$v utgår i enhetscirkeln från $x$x-axeln och vrids i positiv riktning, vilket betyder moturs.

Punkten $P$P har koordinaten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y)  i planet och i enhetscirkeln gäller då att  $y=\sin v$y=sinv  och  $x=\cos v$x=cosv vilket ger att punkten $P$P s koordinat även kan anges som  $P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)$P(cosv, sinv).

Enhetscirkeln ger följande viktiga samband.

$\sin v=y$sinv=y

$\cos v=x$cosv=x

$\tan v=$tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv   , där  $\cos v\ne0$cosv≠0 

$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180^∘−v)=sinv 

$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180^∘−v)=−cosv 

Utifrån följande två trianglar kan teckna följande snygga exakta samband.

Halv kvadrat med sidan $1$1
     
Halv liksidig triangel med sidan  $2$2 

Figurerna ger följande trigonometriska samband.

Med hjälp av de tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kan vi bestämma okända areor, vinkar och sidor även till trianglar som inte är rätvinkliga.

Vi kan beräkna arean med areasatsen om vi känner till två sidor och mellanliggande vinkel. Formeln kan skrivas på tre olika sätt beroende på vilka sidor och vinklar som är givna. 

$\text{Trianglens area}=$Trianglens area= $\frac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\cdot c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\cdot c\cdot\sin B}{2}$a·b·sinC2 =b·c·sinA2 =a·c·sinB2 

Med sinussatsen  kan du bestämma en okänd sida eller vinkel om du, utöver en sida och motstående vinkel känner till ytterligare en sida vinkel eller sida. Följande tre förhållande gäller.

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc 

Dess går att skriva om till förhållandena

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$‍asinA =bsinB =csinC 

Sinussatsen kan ibland ge två olika aktuella vinklar. Det inträffar när ekvationen har två möjliga lösningar i intervallet  $0^{\circ}<$0^∘<  $v<180^{\circ}$v<180^∘ .  

Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor. Du kan med den bestämma en okänd vinkel eller sidas längd, så länge du känner till andra sidor eller vinklar i triangeln. 

Med hjälp av cosinussatsen kan vi ställa upp följande tre samband.

1:   $ a^2 = b^2 + c^2 – 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A $

2:   $ b^2 = a^2 + c^2 – 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B $

3:   $ c^2 = a^2 + b^2 – 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C $

I Matematik 3b ingår även en fördjupning av talföljder. En följd av tal, där kvoten $k$k av två på varandra följande tal är konstant hela talföljden, kallas för en geometrisk talföljd. Talen i talföljden kallas också för element. Det första talet i talföljden betecknas $a_1$a₁.

Kvoten $k$k beräknas med formeln $k=$k=  $\frac{a_{n+1}}{a_n}$a_n+1a_n 

Man kan bestämma det $n$n:te elementet i talföljden med formeln $a_n=a_1\cdot k^{n-1}$a_n=a₁·kⁿ⁻¹

För att beräkna en summa av upprepade förändringar, tex hur mycket pengar man har på ett konto efter ett antal lika stora insättningar på ett konto med en konstant ränta, kan man med fördel ta vara på att dessa händelser kan beskrivas matematiskt som summan av en geometrisk talföljd.

Då talföljden innehåller många termer blir det mycket effektivt att använda sig av formeln för den geometriska summan. Den kan förenklat skriva om på detta sätt. 

Linjär optimering som en metod för att hitta ett så optimalt, värde som möjligt utifrån ett antal olika villkor.

Alla punkter i området kommer att klara alla begränsningar, uppfylla alla villkor, och därmed vara värden som är möjliga utifrån villkoren. Med linjär optimering möjliggör vi att inte bara hitta alla möjliga, utan även det bästa värdet.

Den funktion  $m(x,y)=ax+by$m(x,y)=ax+by  som ger möjlighet att beräkna det man vill optimera när man löser ett optimeringsproblem kallas för en målfunktion. Genom att teckna villkoren som linjära olikheter och rita in i samma koordinatsystem, kan vi hitta det optimala värdet genom att sätt in koordinaterna för områdets hörnpunkter i målfunktionen.

Målfunktionen ritas inte in i koordinatsystemet utan bara de funktioner som motsvarar villkoren. Tänk på att teckna dessa med samma variabel.

Tyvärr kommer du inte att få tillgång till all information som delas här, i sammanfattning Matematik 3, vid Nationella provet.

Använd gärna några av våra kapiteltest för att repetera och fördjupa dina kunskaper. Samtliga uppgifter har fullständiga förklaringar.

 Kapiteltest – Aritmetik, Polynom och Rationella uttryck Ma3b
 Kapiteltest – Aritmetik, Polynom och Rationella uttryck Ma3c
 Kapiteltest – Grundläggande maximi och minimiproblem Ma3b
 Kapiteltest – Grundläggande maximi och minimiproblem Ma3c
 Kapiteltest – Derivatan och grafen Ma3b
 Kapiteltest – Derivatan och grafen Ma3c
 Kapiteltest – Primitiva funktioner och Integraler Ma3b
 Kapiteltest – Primitiva funktioner och Integraler Ma3c
 Kapiteltest -Trigonometri Ma3c
 Kapiteltest – Linjär optimering Ma3b
 Kapiteltest – Geometriska talföljder Ma3b

Här kan du hitta alla gamla nationella prov att öva på.

Tidigare nationella prov