...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Sammanfattning Ma3

Sammanfattning Matematik 3

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I sammanfattning Matematik 3 har vi samlat alla formler och begrepp som du behöver i kurserna Matematik 3b och 3c. Du hittar lätt vad du söker i innehållsförteckningen här till höger.

Sammanfattning Matematik 3 är främst till för att ge dig en överblick över kursen. Den är till hjälp vid repetition inför prov eller inför att du ska läsa Matematik 4.

Genom att klicka på länkarna i texten kommer du till lektioner med övningsuppgifter och videogenomgångar på de olika begreppen. På så sätt kan du fördjupa dig mer kring det som här, i all enkelhet, kort presenteras. Följ länken för att se hur skolverket beskriver kursens centrala innehåll.

En annan bra repetition av kursen är att göra nationella prov som gjort tidigare år. Vi har samlat dem på ett ställe.

 Tidigare nationella prov

Funktioner

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En funktion är en regel som till varje tillåtet $x$x-värde ger exakt ett $y$y -värde. Du kan kontrollera om en graf är en funktionen med hjälp av vertikaltestet.

Definitionsmängden är de tillåtna$x$x-värdena
Värdemängden är de erhållna $y$y-värdena

Funktioner delas in i kontinuerliga eller diskontinuerliga funktioner.

Kontinuerlig funktion definition

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.

Diskontinuerlig

En av de diskontinuerliga funktionerna kallas för diskret. Den utmärker sig genom att definitionsmängden inte omfattar alla reella tal i ett intervall. Det ger en graf som består av punkter i stället för en sammanbunden graf.

Diskret funktionKontinuerlig funktion

Polynom

Polynom är en summa av termer där variabeln är i basen och alla exponenter tillhör de naturliga talen. Alla polynom kan skrivas i faktorform. 

Faktorform

Algebra

En stor del av Matematik 3 handlar om att behärska algebra och alla dess olika räkneregler. Här sammanfattar vi de viktigaste du behöver kunna för att klara kursen.

Rationellt uttryck

Rationella uttryck definieras som en kvot av två polynom.

Rationella uttryck

Mer matematiskt definierar vi att ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0

Förenkla rationelle uttryck

Genom att behärska kvadreringsreglerna och konjugatregeln kan du skriva om uttryck till faktorer, som du förhoppningsvis kan förkorta och på så vis förenkla tillsynes komplicerade rationella uttryck.

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ab)2=a22ab+b2

Konjugatregeln

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2

När du har täljare och nämnare som innehåller identiska faktorer kan du förkorta bort dessa. Om så inte är fallet kan vid vissa tillfällen skapa uttryck som är identiska. Detta fungerar då uttrycken endast skiljer sig på så vis att de har olika tecken. Genom att bryta ut en minusetta ur en av faktorerna kan du då skriva om dem till samma tecken. Följande kunskap är alltså användbar.

$\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(ab)=(1)(ba)

Potensregler

För alla reella tal $m$m och $n$n och positiva tal $a$a och $b$b gäller att

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$am·an=am+n

$\frac{a^m}{a^n}$aman  $=a^{m-n}$=amn

$a^{-n}=$an= $\frac{1}{a^n}$1an    där  $a\ne0$a0

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(am)n=am·n

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab )n=anbn 

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)n=an·bn

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a1n =na

$a^0=1$a0=1

Kvadratrötter

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$a·b=a·b

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ab =ab 

Polynomfunktioner

Andragradsfunktioner

Andragradsfunktionen är en av polynomfunktionerna. Här repeterar vi kort de olika begreppen.

Andragradsfunktionens begrepp

Mer ingående förklaringar och övningsuppgifter hittar du i lektionen Vad är en andragradsfunktion?

Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c påverkar parabeln utseende.

Polynomfunktionens graf

Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skissen är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

Polunomfunktioner

En grundläggande minnesregel kan vara att

För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.

Fem sätt att lösa ekvationer på

Tänk på att aldrig dividera bort en variabel vid ekvationslösning. Du riskerar att förlora lösningar!

En ekvation kan ha lika många lösningar som ekvationens gradtal, alltså polynomets största exponent för variabeln. Lösningarna kallas för rötter. Tex. andragradsekvationer kan ha två lösningar, tredjegradsekvationer tre och femtegradsekvationer fem lösningar. I vissa fall sammanfaller vissa lösningar, alltså en dubbelrot,  trippelrot o.s.v.

När man löser en ekvation genom kvadrering kan även en så kallad falsk rot smyga sig med. Alltså en rot som inte ger en likhet i ursprungsekvationen. Testa därför alltid dina rötter i den ursprungliga ekvationen när du kvadrerat.

Kontrollera även om det finns x-värden som inte är definierade. Vanligtvis är de odefinierade x-värdena de värden på $x$x  som gör att nämnaren blir noll eller vid logaritmering, negativa $x$x -värden eftersom att 

1) Nollproduktmetoden Denna metod är mycket användbar i denna kurs, eftersom att vi ofta ska ta fram derivatans nollställen. Har du termer vars summa är lika med noll så lär det vara denna metod som är mest effektiv!

2) Kvadratrotsmetoden

3) Lösningsformeln även kallad PQ för andragradsekvationen

4) Grafisk lösningRita HL och VL som två olika funktioner och läs av skärningspunktens x- värden, de motsvarar ekvationens lösning. Finns inga skärningspunkter saknar ekvationen reella lösningar. I exemplet nedan söks lösningen till f(x)=0

Andragradsekvationens grafiska lösningar

5) Logaritmer –  Två vanliga baser är basen $10$10 och e. De har därför fått egna beteckningar. 

 $\log_{10}=\lg$log10=lg och  $\log_e=\ln$loge=ln 

Logaritmer -förklaring

Enligt logaritmlagar är

 $10^x=y$10x=y   $⇔$    $x=\lg y$x=lgy 

och

 $e^x=b$ex=b   $⇔$   $x=\ln b$x=lnb.

En ekvation med variabeln i exponenten löser vi genom att ta logaritmen på båda leden. 

Exempel

Lös ekvationen   $2e^x=4$2ex=4 

Lösning

  $2e^x=4$2ex=4  dividera båda leden med två

$e^x=2$ex=2  logaritmera båda leden

$x=\ln2$x=ln2     

eftersom att  $\ln e^x=\ln b$lnex=lnb     $⇔$    $x\cdot\ln e=\ln b$x·lne=lnb     $⇔$     $x=\ln b$x=lnb 

Vi kan läsa både $e^x=b$ex=b och $x=\ln b$x=lnb som

”Talet x är det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet b.”

ln utläses som “det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli…”

Ändringskvot/differenskvot, tangent och sekant

Genom att bestämma en sekant eller tangent kan vi uppskatta en funktions förändring.

Sekanten ger förändringen i ett intervall. Tangenten ger förändringen i en punkt.

Ändringskvotens förklaring

Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Du väljer ett värde med samma avstånd framåt som bakåt i förhållande till punkten du ska bestämma ändringskvoten till och beräknar sedan 

Genomsnittlig förändringshastighet $=\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$=Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =yx  

Återvänd till lektionen om Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter för att repetera numeriska och grafiska ändringskvoter.

För att får ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Tex  $h=\pm0,000\text{ }001$h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, ju bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.

Gränsvärde

Gränsvärdet inför vi för att kunna definiera derivatan algebraiskt.

Gränsvärde

För vissa uttryck och funktioner kan man beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver man först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet.

Derivatan

Derivatans värde kan beskrivas som…

  • kurvans lutning i en punkt, vilket är det samma som tangentens lutning i punkten.
  • förändringshastigheten i en punkt på kurvan.’

Derivatans definition

Exempel

 Bestäm  $f'(x)=2x^2+3$ƒ ’(x)=2x2+3  med derivatans definition

Lösning

Förenkling av derivatans definition

Deriveringsregler

Utifrån derivatans definition har man tagit fram deriveringsregler. Det finns två deriveringsregler. En för potensfunktioner och en för exponentialfunktioner.

TIPS

  • Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  • Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  • Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
  • Om funktionen har variabeln i nämnaren eller under ett rottecken, så skriv om den i potensform för att sedan tillämpa deriveringsreglerna.
  • Vi har inte lärt oss deriveringsregeln för produkter. Skriv om uttrycket till termer och derivata term för term.

Viktigt att komma ihåg att  $a^0=1$a0=1 

Deriverings regler

 $\ln$ln står för den naturliga logaritmen, som är logaritmen med basen $e$e .

Därför är derivatan för exponentialfunktioner med basen $e$e extra lätt. Detta eftersom att $\ln e=1$lne=1 och vi får att derivatan är densamma som ursprungs funktionen om koefficienten i exponenten är lika med ett. Så fort du får $\ln e$lne så beräknar du det. Det ska inte finnas med i svaret.

Närmevärdet till talet $e\approx2,71828$e2,71828 

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

Observera

 $4\cdot3^2=4\cdot9=36$4·32=4·9=36  medan  $\left(4\cdot3\right)^2=12^2=144$(4·3)2=122=144 

På liknande sätt gäller att derivatan till  $f\left(x\right)=3\cdot2^x$ƒ (x)=3·2x  är lika med  $f'(x)=3\cdot2^x\cdot\ln2$ƒ ’(x)=3·2x·ln2.

Men derivatan $f'(x)=3\cdot2^x\cdot\ln2\ne6^x\cdot\ln2$ƒ ’(x)=3·2x·ln26x·ln2. Du kan inte heller förenkla derivatan till någon av följande då  $f'(x)=3\cdot2^x\cdot\ln2\ne\ln12^x$ƒ ’(x)=3·2x·ln2ln12x och  $f'(x)=3\cdot2^x\cdot\ln2\ne\ln6\cdot2^x$ƒ ’(x)=3·2x·ln2ln6·2x 

Du får alltså INTE multiplicera basen med faktorn $k$k eller $\ln a$lna i   $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot lna$ƒ ´(x)=C·akx·lna 

Derivatan och tangentens lutning

Växande och avtagande

Med derivatan kan vi analysera funktionens utseende och egenskaper. 

När funktionen är växande är derivatan positiv och alla tangenter i intervallet har en positiv lutning.

När funktionen är avtagande är derivatan negativ och alla tangenter i intervallet har en negativ lutning.

Växande och avtagande graf

Bestäm extrempunktens karaktär

I extrempunkterna är  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0. I dessa punkter hittar du lokala och eventuellt globala max och minimipunkter. Alla extrempunkter kan verifieras med antingen med

1) Teckentabell

Teckentabell

2) Andraderivatan

 $f”\left(a\right)<0$ƒ (a)<0 ger att punkten där $x=a$x=a är en maximipunkt

 $f”\left(b\right)>0$ƒ (b)>0 ger att punkten där $x=b$x=b är en minimipunkt

3) Skiss och resonemang kring kurvans egenskaper. Tänk då på att det är funktionen och inte derivatans graf du ska föra ditt resonemang kring.

Extremplunkter

 $f(x)$ƒ (x) har en extrempunkt då  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0   

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en maximipunkt då  $f”\left(x\right)<0$ƒ (x)<0 

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en minimipunkt då  $f”\left(x\right)>0$ƒ (x)>0 

$f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger att $f”(x)=0$ƒ ”(x)=0 måste karaktären bestämmas med en teckentabell.

Teckentabell

I teckentabellen får du en bild av grafens utseende.

Teckantabell
Om du vill göra en mer noggrann skiss räknar du fram $y$y-koordinaterna för extrempunkterna genom att sätta in  $x$x-värdena i funktionsuttrycket. Du kan med fördel även bestämma var kurvan skär $y$y-axeln. Punkten motsvarar alltid konstanttermen i uttrycket, eftersom att att $x=0$x=0 i denna punkt. Du kan även bestäm även funktionens nollställen, alltså där grafen skär $x$x -axeln, där $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 eller någon annan valfri punkt på grafen för att få en ännu noggrannare skiss.

Primitiva funktioner och integraler

Funktionen $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) om

 $F’\left(x\right)=f\left(x\right)$F(x)=ƒ (x) 

Alltså om den primitiva funktionen $F:s$F:s derivata är lika med funktionen $f$ƒ  .

Primitiva funktioner till potensfunktioner

Regel för primitiv funktion till exponentialfunktioner

Men hjälp av en punkt på grafen kan man bestämma konstanten $C$C. Har du ingen punkt kan du ta fram en genom att sätta in ett värde på $x$x som ingår i definitionsmängden och beräkna funktionsvärdet $f\left(x\right)$ƒ (x) och på så sätt få punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).

Integraler

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av alla förändringar i ett intervall.

Integralens begrepp

Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean mellan en funktions kurva och $x$x-axeln i ett intervall.

Integralkalkylens fundamentalsats

Var noga med att få rätt på alla tecken när du beräknar integralen! Ett tips kan vara att behålla parentesen och beräkna värdet i varje parentes innan subtraktionen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a) utförs.

I lektionen Tillämpning av integraler kan du repeterar sambandet mellan integralen och integranden.

Trigonometri (Ma3c)

I rätvinklig triangel kan förhållandet mellan vinkeln, katetrarna  och  hypotenusan beskrivas med följande samband.

Trigonometri

Enhetscirkeln (Ma3c)

Utifrån cirkelns ekvation  $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 där  $r$r är radien,  $\left(x,y\right)$(x,y) en punkt på cirkelns rand och  $\left(a,b\right)$(a,b)  cirkelns medelpunkt kan vi skapa enhetscirkeln med medelpunkten i origo och raiden med längden  $1$1  l.e.

Punkten P är markerad i triangelns ena hörn och ligger på cirkelns rand. Triangeln har även ett hörn i origo.

Enhetscirkeln introduktion

Enhetscirkeln ger följande viktiga samband.

 $\sin v=y$sinv=y 

 $\cos v=x$cosv=x 

 $\tan v=$tanv= $\frac{sinv}{cosv}$sinvcosv   , där  $cosv\ne0$cosv0

 

 $sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv 

 $cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv 

Tabell över exakta trigonometriska värden (Ma3c)

GraderRadianerSinusCosinusTangens
   $0\text{°}$0°   $0$0  $0$0   $1$1   $0$0 
  $30\text{°}$30°   $\frac{\pi}{6}$π6   $\frac{1}{2}$12    $\frac{\sqrt{3}}{2}$32    $\frac{\sqrt{3}}{3}$33  
  $45\text{°}$45°   $\frac{\pi}{4}$π4    $\frac{1}{\sqrt{2}}$12    $\frac{1}{\sqrt{2}}$12   $1$1  
  $60\text{°}$60°   $\frac{\pi}{3}$π3    $\frac{\sqrt{3}}{2}$32   $\frac{1}{2}$12    $\sqrt{3}$3  
  $90\text{°}$90°   $\frac{\pi}{2}$π2   $1$1  $0$0  $Ej\text{ }def$Ej deƒ   
  $120\text{°}$120°   $\frac{2\pi}{3}$2π3  

 $\frac{\sqrt{3}}{2}$32   

 $-\frac{1}{2}$12   

 $-\sqrt{3}$3  

  $135\text{°}$135°   $\frac{3\pi}{4}$3π4    $\frac{\sqrt{2}}{2}$22    $-\frac{\sqrt{2}}{2}$22   $-1$1  
  $150\text{°}$150°   $\frac{5\pi}{6}$5π6   $\frac{1}{2}$12     $-\frac{\sqrt{3}}{2}$32   $-\frac{\sqrt{3}}{3}$33   
 $180\text{°}$180°  $\pi$π  $0$0  $-1$1  $0$0 
 $225\text{°}$225°  $\frac{5\pi}{4}$5π4   $-\frac{1}{\sqrt{2}}$12   $-\frac{1}{\sqrt{2}}$12   $1$1 
 $270\text{°}$270°  $\frac{3\pi}{2}$3π2   $-1$1  $0$0  $Ej\text{ }def$Ej deƒ  
 $315\text{°}$315°  $\frac{7\pi}{4}$7π4   $-\frac{1}{\sqrt{2}}$12   $\frac{1}{\sqrt{2}}$12   $-1$1 
 $360\text{°}$360°  $2\pi$2π  $0$0   $1$1  $0$0 

Triangelsatserna (Ma3c)

Med hjälp av de tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kan vi bestämma areor även till trianglar som inte är rätvinkliga. 

Areasatsen (Ma3c)

Vi kan beräkna arean med areasatsen på tre olika sätt beroende på vilka sidor och vinklar som används.

Bild till areasatsen

  $\text{Trianglens area}=$Trianglens area= $\frac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\cdot c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\cdot c\cdot\sin B}{2}$a·b·sinC2 =b·c·sinA2 =a·c·sinB2  

Sinussatsens formel (Ma3c)

 Sinussatsen ger ur vinklar och sidor i en triangel förhåller sig till varandra.

Sinussatsen

 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc  

och går även att skriva som

 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC  

Se även lektionen om när sinussatsen ger två fall.

Cosinussatsen (Ma3c)

Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor. 

Cosinussatsen

Med hjälp av cosinussatsen kan vi ställa upp följande tre samband.

1: $ a^2 = b^2 + c^2 – 2 \cdot b \cdot c \cdot cosA $

2: $ b^2 = a^2 + c^2 – 2 \cdot a \cdot c \cdot cosB $

3: $ c^2 = a^2 + b^2 – 2 \cdot a \cdot b \cdot cosC $

Geometriska talföljder (Ma3b)

I Matematik 3b ingår även en fördjupning av talföljder. En följd av tal, där kvoten $k$k av två på varandra följande tal är konstant hela talföljden, kallas för en geometrisk talföljd. Talen i talföljden kallas också för element. Det första talet i talföljden betecknas $a_1$a1.

Geometrisk talföljd

Kvoten $k$k beräknas med formeln $k=$k=  $\frac{a_{n+1}}{a_n}$an+1an  

Man kan bestämma det $n$n:te elementet i talföljden med formeln $a_n=a_1\cdot k^{n-1}$an=a1·kn1 

För att beräkna en summa av upprepade förändringar, tex hur mycket pengar man har på ett konto efter ett antal lika stora insättningar på ett konto med en konstant ränta, kan man med fördel ta vara på att dessa händelser kan beskrivas matematiskt som summan av en geometrisk talföljd.

Summan geometrisk talföljd

Då talföljden innehåller många termer blir det mycket effektivt att använda sig av formeln för den geometriska summan. Den kan förenklat skriva om på detta sätt. 

Formeln för geometrisk summa

Linjär optimering (Ma3b)

Linjär optimering som en metod för att hitta ett så optimalt, värde som möjligt utifrån ett antal olika villkor.

Alla punkter i området kommer att klara alla begränsningar, uppfylla alla villkor, och därmed vara värden som är möjliga utifrån villkoren. Med linjär optimering möjliggör vi att inte bara hitta alla möjliga, utan även det bästa värdet.

HalvplanHalvplan

Den funktion  $m(x,y)=ax+by$m(x,y)=ax+by  som ger möjlighet att beräkna det man vill optimera när man löser ett optimeringsproblem kallas för en målfunktion. Genom att teckna villkoren som linjära olikheter och rita in i samma koordinatsystem, kan vi hitta det optimala värdet genom att sätt in koordinaterna för områdets hörnpunkter i målfunktionen.

Linjär optimering

Målfunktionen ritas inte in i koordinatsystemet utan bara de funktioner som motsvarar villkoren. Tänk på att teckna dessa med samma variabel.

Repetitionsmaterial

Tyvärr kommer du inte att få tillgång till all information som delas här, i sammanfattning Matematik 3, vid Nationella provet.

Använd gärna några av våra kapiteltest för att repetera och fördjupa dina kunskaper. Samtliga uppgifter har fullständiga förklaringar.

Kapiteltest 1 – Aritmetik, polynom och rationella uttryck
Kapiteltest 2 – Aritmetik, polynom och rationella uttryck
Kapiteltest 1 – Derivata och deriveringsregler
Kapiteltest 2 – Derivata och deriveringsregler
Kapiteltest – Primitiva funktioner och integraler
Kapiteltest 1 – Linjär Optimering
Kapiteltest 1 – Geometriska talföljder

Här kan du hitta alla gamla nationella prov att öva på.

 Tidigare nationella prov

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.