...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova gratis Skaffa Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Sammanfattning Ma3

Sammanfattning Matematik 3

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I sammanfattning Matematik 3 har vi samlat alla formler och begrepp som du behöver i kurserna Matematik 3b och 3c. Du hittar lätt vad du söker i innehållsförteckningen här till höger.

Sammanfattning Matematik 3 är främst till för att ge dig en överblick över kursen. Den är till hjälp vid repetition inför prov eller inför att du ska läsa Matematik 4.

Genom att klicka på länkarna i texten kommer du till lektioner med övningsuppgifter och videogenomgångar på de olika begreppen. På så sätt kan du fördjupa dig mer kring det som här, i all enkelhet, kort presenteras. Följ länken för att se hur skolverket beskriver kursens centrala innehåll.

Funktioner

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Kontakta ansvarig lärare om att förnya eller byt till privatkonto.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya ert skolabonnemang genom att kontakta oss på: info@eddler.se

En funktion är en regel som till varje tillåtet $x$x-värde ger exakt ett $y$y -värde. Du kan kontrollera om en graf är en funktionen med hjälp av vertikaltestet.

Definitionsmängden är de tillåtna$x$x-värdena
Värdemängden är de erhållna $y$y-värdena

Funktioner delas in i kontinuerliga eller diskontinuerliga funktioner.

Kontinuerlig funktion definition

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.

Diskontinuerlig

En av de diskontinuerliga funktionerna kallas för diskret. Den utmärker sig genom att definitionsmängden inte omfattar alla reella tal i ett intervall. Det ger en graf som består av punkter i stället för en sammanbunden graf.

Diskret funktionKontinuerlig funktion

Polynom

Polynom är en summa av termer där variabeln är i basen och alla exponenter tillhör de naturliga talen. Alla polynom kan skrivas i faktorform. 

Faktorform

Algebra

Rationellt uttryck

Rationella uttryck definieras som en kvot av två polynom.

Rationella uttryck

Mer matematiskt definierar vi att ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0

Kvadreringsreglerna

 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 

 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ab)2=a22ab+b2 

Konjugatregeln

 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 

Tips

 $\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(ab)=(1)(ba) 

Potensregler

För alla reella tal $m$m och $n$n och positiva tal $a$a och $b$b gäller att

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$am·an=am+n

$\frac{a^m}{a^n}$aman  $=a^{m-n}$=amn

$a^{-n}=$an= $\frac{1}{a^n}$1an    där  $a\ne0$a0

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(am)n=am·n

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab )n=anbn 

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)n=an·bn

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a1n =na

$a^0=1$a0=1

Kvadratrötter

 $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$a·b=a·b 

 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ab =ab  

Andragradsfunktion

Andragradsfunktionens begrepp

Polynomfunktioners graf

Fem sätt att lösa ekvationer på

Tänk på att aldrig dividera bort en variabel vid ekvationslösning. Du riskerar att förlora lösningar!

En ekvation kan ha lika många lösningar som ekvationens gradtal, alltså polynomets största exponent för variabeln. Lösningarna kallas för rötter. Tex. andragradsekvationer kan ha två lösningar, tredjegradsekvationer tre och femtegradsekvationer fem lösningar. I vissa fall sammanfaller vissa lösningar, alltså en dubbelrot,  trippelrot o.s.v.

När man löser en ekvation genom kvadrering kan även en så kallad falsk rot smyga sig med. Alltså en rot som inte ger en likhet i ursprungs ekvationen.Testa därför alltid dina rötter i den ursprungliga ekvationen. Kontrollera även om det finns x-värden som inte är definierade. Vanligtvis är de odefinierade x-värdena de värden på x som gör att nämnaren blir noll.

1) Nollproduktmetoden DENNA METOD ÄR MYCKET ANVÄNDBAR i denna kurs!! Har du termer vars summa är lika med noll så lär det vara denna metod som är mest effektiv!

2) Kvadratrotsmetoden

3) Lösningsformeln (eller PQ) för andragradsekvationen

4) Grafisk lösningRita HL och Vl som två olika funktioner och läs av skärningspunktens x- värden, de motsvarar ekvationens lösning. Finns inga skärningspunkter saknar ekvationen reella lösningar. I exemplet nedan söks lösningen till f(x)=0

Andragradsekvationens grafiska lösningar

5) Logaritmer –  Två vanliga baser är 10 och e. De har därför fått egna beteckningar: log 10 = lg och  log e = ln

Logaritmer -förklaring

Enligt logaritmlagar är ex=b    x=ln b. En ekvation med variabeln i exponenten löser vi genom att ta logaritmen på båda leden. 

Ex. 2 ex=4 dividera båda leden med två

ex=2 logaritmera båda leden

x=ln 2      eftersom att ln ex=ln b    xln e=ln b      x=ln b

Vi kan läsa både ex=2och x=ln b som: Talet x är det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet b. ln utläses då som “det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli”

Ändringskvot/differenskvot

Genom att bestämma en sekant eller tangent kan vi uppskatta en funktions förändring.

Sekanten ger förändringen i ett intervall. Tangenten ger förändringen i en punkt.

Ändringskvotens förklaring

Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Du väljer ett värde med samma avstånd framåt som bakåt i förhållande till punkten du ska bestämma ändringskvoten till och beräknar sedan 

Genomsnittlig förändringshastighet=$\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =yx 

Ändringskvot- numerisk metod

Ex. Bestäm ett närmevärde till f'(3) med hjälp av tabellen.

Tabell över tillväxt hos nyfödd - förklaring

Vi läser av de två koordinater som ligger så nära som möjligt och med samma avstånd till punkten där x=3.  Vi får att

Genomsnittlig förändringshastighet= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{64-57}{4-2}=\frac{7}{2}=$yx =645742 =72 =  $3,5$3,5 cm/månad

Ändringskvot- grafisk metod

Ex. Bestäm ett närmevärde till $f’\left(3\right)$ƒ (3) med hjälp av grafen.

Parabel

Lösning

Vi bestämmer $f’\left(3\right)$ƒ (3) genom att dra en tangent i punkten $\left(3,\text{ }4\right)$(3, 4) och bestämma dess lutning. Tangentens lutning ger ett närmevärde till derivatan.

Genom att läsa av två punkter på tangenten bestämmer vi dess lutning. Vi väljer  $(2,\text{ }7)$(2, 7)  och $(4,\text{ }1)$(4, 1) .

Parabel

Genomsnittlig förändringshastighet= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{7-1}{2-4}=\frac{6}{-2}=$yx =7124 =62 =  $-3$3 

För att får ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Tex  $h=\pm0,000\text{ }001$h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, ju bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.

Gränsvärde

Gränsvärde

Derivatan

Derivatans värde kan beskrivas som…

  • kurvans lutning i en punkt, vilket är det samma som tangentens lutning i punkten.
  • förändringshastigheten i en punkt på kurvan.’

Derivatans definition

Ex Bestäm  $f'(x)=2x^2+3$ƒ ’(x)=2x2+3  med derivatans definition

Förenkling av derivatans definition

Deriveringsregler

Utifrån derivatan definition har man tagit fram deriveringsregler. Det finns två deriveringsregler. En för potensfunktioner (variabeln i basen) och en för exponentialfunktioner (variabeln i exponenten).

TIPS:

  • Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  • Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  • Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
  • Om funktionen har variabeln i nämnaren eller under ett rottecken, så skriv om den i potensform för att sedan tillämpa deriveringsreglerna.
  • Vi har inte lärt oss deriveringsregeln för produkter. Skriv om uttrycket till termer och derivata term för term.

Viktigt att komma ihåg att a⁰=1

Deriverings regler

ln står för den naturliga logaritmen, som är logaritmen med basen e.

Därför är derivatan för exponentialfunktioner med basen e extra lätt. Detta eftersom att ln e=1 och vi får att derivatan är densamma som ursprungs funktionen om koefficienten i exponenten är lika med ett. Så fort du får ln e så beräknar du det. Det ska inte finnas med i svaret.

Närmevärdet till talet e2,71828

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

Ex 4⋅32=4⋅9=36 Men 4⋅32122=144

På samma sätt gäller att f'(x)=3x·2·ln 36x·ln 3

Du får alltså INTE multiplicera basen amed faktorn k eller ln af´(x)=C⋅akx⋅k⋅lna

Derivatan och tangentens lutning

Växande och avtagande

När funktionen är växande är derivatan positiv och alla tangenter i intervallet har en positiv lutning.

När funktionen är avtagande är derivatan negativ och alla tangenter i intervallet har en negativ lutning.

Växande och avtagande graf

Bestäm extrempunktens karaktär

I extrempunkterna är  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0 . Alla extrempunkter kan verifieras med antingen med

1) Teckentabell

Teckentabell

2) Andraderivatan

f”(a)<0 ger att punkten där x=a är en maximipunkt

f”(b)>0 ger att punkten där x=b är en minimipunkt

3) Skiss och resonemang kring kurvans egenskaper. Tänk då på att det är funktionen och inte derivatans graf du ska föra ditt resonemang kring.

Extremplunkter

 $f(x)$ƒ (x) har en extrempunkt då  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0   

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en maximipunkt då  $f”\left(x\right)<0$ƒ (x)<0 

 $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger en minimipunkt då  $f”\left(x\right)>0$ƒ (x)>0 

$f´(x)=0$ƒ ´(x)=0 ger att $f”(x)=0$ƒ ”(x)=0 måste karaktären bestämmas med en teckentabell

Teckentabell

Teckantabell
Om du vill göra en mer noggrann skiss räknar du fram y-koordinaterna för extrempunkterna genom att sätta in x-värdena i funktionsuttrycket, samt var kurvan skär y-axeln, vilket alltid motsvarar konstanttermen i uttrycket eftersom att att x=0 i denna punkt, och x-axeln, där f(x)=0.

Primitiva funktioner och integraler

Funktionen F(x) är en primitiv funktion till funktionen f(x) om

F'(x)=f(x)

Alltså om den primitiva funktionen F:s derivata är lika med funktionen f.

Primitiva funktioner till potensfunktioner

Regel för primitiv funktion till exponentialfunktioner

Men hjälp av en punkt på grafen kan man bestämma konstanten C. Har du ingen punkt kan du ta fram en genom att sätta in ett värde på x som ingår i definitionsmängden och beräkna funktionsvärdet f(x) och på så sätt få punkten (x, f(x)).

 Integraler

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av en massa förändringar.

Integralens begrepp

Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean mellan en funktions kurva och x -axeln i ett intervall

Integralkalkylens fundamentalsats

Var noga med att få rätt på alla tecken när du beräknar integralen! Ett tips kan vara att behålla parentesen och beräkna värdet i varje parentes innan subtraktionen F(b)-F(a) utförs.

I lektionen Tillämpning av integraler kan du repeterar sambandet mellan integralen och integranden.

Geometriska talföljder

En följd av tal, där kvoten k av två på varandra följande tal är konstant hela talföljden, kallas för en geometrisk talföljd. Talen i talföljden kallas också för element. Det första talet i talföljden betecknas a1

Geometrisk talföljd

Kvoten k beräknas med formeln k=an+1an

Man kan bestämma den n:te elemente i talföljden med formeln an=a1k n-1

För att beräkna en summa av upprepade förändringar, tex hur mycket pengar man har på ett konto efter ett antal lika stora insättningar på ett konto med en konstant ränta, kan man med fördel ta vara på att dessa händelser kan beskrivas matematiskt som en summa av en geometrisk talföljd.

Summan geometrisk talföljd

Då talföljden innehåller många termer blir det mycket effektivt att använda sig av formeln för den geometriska summan. Den kan förenklat skriva om på detta sätt. 

Formeln för geometrisk summa

Linjär optimering

Linjär optimering är en metod för att hitta ett så bra, eller optimalt, värde som möjligt utifrån en viss situation. En situation med ett antal olika villkor. Villkoren definieras utifrån situationens förutsättningar. Det kan handla om många olika begränsningar med ofta är de ekonomiska, rumsliga, mängd eller tidsmässiga begränsningar.

Begränsningarna kallas för villkor och beskrivs i denna kurs som linjära olikheter. Dessa olika villkor kommer tillsammans att begränsa ett område i planet.

Alla punkter i området kommer att klara alla begränsningar, uppfylla alla villkor, och därmed vara värden som är möjliga utifrån villkoren. Men linjär optimering möjliggör vi att inte bara hitta alla möjliga, utan även det bästa värdet.

HalvplanHalvplan

Den funktion m(x, y)=ax+by som ger möjlighet att beräkna det man vill optimera när man löser ett optimeringsproblem kallas för en målfunktion. Genom att teckna villkoren som linjära olikheter och rita in i samma koordinatsystem, kan vi hitta det optimala värdet genom att sätt in koordinaterna för områdets hörnpunkter i målfunktionen.

Ex. Bestäm det minsta värdet för målfunktionen m(x,y)=10x+ysom begränsas av området i figuren. 

Lösning: För att bestämma det optimala värde för området beräknar vi målfunktionens värde för respektive hörnpunkt.

m(0,3)=100+3=3
m(5,2)=105+2=52
m(3,0)=103+0=30 

Vi jämför resultaten och ser att det minsta värdet för målfunktionen i området är 3. Vi återfinner det i punkten (0,3) Det innebär att när vi har noll x och tre y får vi det minsta värdet.

Linjär optimering

Målfunktionen ritas inte in i koordinatsystemet utan bara de funktioner som motsvarar villkoren. Tänk på att teckna dessa med samma variabel.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.