Sammanfattning Matematik 3c

En funktion är en regel som till varje tillåtet $x$x-värde ger exakt ett $y$y -värde. Vi kontrollerar om en graf är en funktion med hjälp av vertikaltestet.

Definitionsmängden är de tillåtna $x$x-värdena
Värdemängden är de erhållna $y$y-värdena

Funktioner delas in i kontinuerliga eller diskontinuerliga funktioner.

En funktion $f$ƒ  är kontinuerlig då den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd. 

Om en funktion inte är kontinuerlig för alla punkter tillhörande definitionsmängden, är den diskontinuerlig. Det visar sig genom att grafer som tillhör en diskontinuerlig funktion innehåller ett eller flera "glapp" även för $x$x-värden som tillhör definitionsmängden.

Polynom är en summa av termer där variabeln är i basen och alla exponenter tillhör de naturliga talen. Alla polynom kan skrivas i faktorform. 

En stor del av Matematik 3c handlar om att behärska algebra och alla dess olika räkneregler. Här sammanfattar vi de viktigaste vi behöver kunna för att klara kursen.

Rationella uttryck definieras som en kvot av två polynom.

Mer matematiskt definierar vi ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) som kvoten av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)≠0

Genom att behärska kvadreringsreglerna och konjugatregeln kan vi skriva om uttryck till faktorer, som vi förhoppningsvis kan förkorta och på så vis förenkla till synes komplicerade rationella uttryck.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b²

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(a−b)²=a²−2ab+b²

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a−b)=a²−b²

När vi har täljare och nämnare som innehåller identiska faktorer kan vi förkorta bort dessa. Om så inte är fallet kan vi vid vissa tillfällen själva skapa uttryck som är identiska, till exempel genom att faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

Detta fungerar även då uttrycken endast skiljer sig på så vis att de har olika tecken. Genom att bryta ut en minusetta ur en av faktorerna kan vi då skriva om dem till samma tecken. Följande kunskap är alltså användbar.

$\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(a−b)=(−1)(b−a)

För alla reella tal $m$m och $n$n och positiva tal $a$a och $b$b gäller att

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$a^m·aⁿ=a^m+n

$\frac{a^m}{a^n}$a^maⁿ  $=a^{m-n}$=a^m−n

$a^{-n}=$a⁻ⁿ= $\frac{1}{a^n}$1aⁿ    där  $a\ne0$a≠0

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(a^m)ⁿ=a^m·n

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab )ⁿ=aⁿbⁿ 

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a¹ⁿ =ⁿ√a

$a^0=1$a⁰=1

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$√a·b=√a·√b

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$√ab =√a√b 

Andragradsfunktioner

Andragradsfunktionen är en av polynomfunktionerna. Här repeterar vi kort de olika begreppen.

Mer ingående förklaringar och övningsuppgifter hittar vi i lektionen Vad är en andragradsfunktion?

Genom att flytta reglagen i sidled kan vi undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c påverkar parabelns utseende.

Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skisserna är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

Några grundläggande minnesregler, som är mycket bristfälliga och grovt generaliserande, men ändå kan vara till hjälp, kan vara att

För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.

De positiva polynomfunktionerna pekar uppåt längst åt höger.
De negativa polynomfunktionerna pekar nedåt längst åt höger.

Tänk på att aldrig dividera bort en variabel vid ekvationslösning. Vi riskerar att förlora lösningar!

En ekvation har lika många lösningar som ekvationens gradtal, alltså polynomets största exponent för variabeln. Lösningarna kallas för rötter. Till exempel kan andragradsekvationer ha två lösningar, tredjegradsekvationer tre och femtegradsekvationer fem lösningar. I vissa fall sammanfaller vissa lösningar, alltså en dubbelrot,  trippelrot o.s.v.

När vi löser en ekvation genom kvadrering kan även en så kallad falsk rot smyga sig med. Alltså en rot som inte ger likhet i ursprungsekvationen. Testa därför alltid rötterna i den ursprungliga ekvationen när vi kvadrerat.

Kontrollera även om det finns x-värden som inte är definierade. Vanligtvis är de odefinierade x-värdena de värden på $x$x som gör att nämnaren blir noll. Vid logaritmering tillkommer de negativa $x$x-värdena, eftersom $\lg a$lga bara är definierad för $a>0$a>0.

1) Nollproduktmetoden - Denna metod är mycket användbar i denna kurs, eftersom vi ofta ska ta fram derivatans nollställen. Har vi faktorer vars produkt är lika med noll är det denna metod som är mest effektiv!

2) Kvadratrotsmetoden

3) Lösningsformeln även kallad PQ-formeln för andragradsekvationer

4) Grafisk lösning - Rita HL och VL som två olika funktioner och läs av skärningspunkternas $x$x-värden. De motsvarar ekvationens lösning. Finns inga skärningspunkter saknar ekvationen reella lösningar. I exemplet nedan söks lösningen till $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0, så kallade nollställen. 

5) Logaritmer -  Två vanliga baser är basen $10$10 och e. De har därför fått egna beteckningar. 

 $\log_{10}=\lg$log₁₀=lg och  $\log_e=\ln$log_e=ln 

Enligt logaritmlagar är

 $10^x=y$10^x=y   $⇔$⇔    $x=\lg y$x=lgy 

och

$e^x=b$e^x=b   $⇔$⇔   $x=\ln b$x=lnb.

En ekvation med variabeln i exponenten löser vi genom att ta logaritmen på båda leden. 

Vi kan läsa både $e^x=b$e^x=b och $x=\ln b$x=lnb som

"Talet x är det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet b."

ln utläses som “det tal som basen e ska upphöjas till för att svaret ska bli...”

Genom att bestämma en sekant eller tangent kan vi uppskatta en funktions förändring.

Sekanten ger förändringen i ett intervall. Tangenten ger förändringen i en punkt.

Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Vi väljer ett värde med samma avstånd framåt som bakåt från den punkt vi ska bestämma ändringskvoten i och beräknar sedan 

Genomsnittlig förändringshastighet $=\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$=Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =△y△x 

Återvänd till lektionen om Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter för att repetera numeriska och grafiska ändringskvoter.

För att få ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Till exempel  $h=\pm0,000\text{ }001$h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, desto bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.

Gränsvärdet inför vi för att kunna definiera derivatan algebraiskt.

För vissa uttryck och funktioner kan vi beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver vi först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet.

Derivatans värde kan beskrivas som…

• kurvans lutning i en punkt, vilket är detsamma som tangentens lutning i punkten.
• förändringshastigheten i en punkt på kurvan.

Utifrån derivatans definition har vi tagit fram deriveringsregler. Det finns två deriveringsregler. En för potensfunktioner och en för exponentialfunktioner.

TIPS

• Vi deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
• Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
• Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

• Om funktionen har variabeln i nämnaren eller under ett rottecken, så skriv om den i potensform för att sedan tillämpa deriveringsreglerna.
• Vi har inte lärt oss deriveringsregeln för produkter. Skriv om uttrycket till termer och derivata term för term.

Viktigt att komma ihåg att  $a^0=1$a⁰=1 

$\ln$ln står för den naturliga logaritmen, som är logaritmen med basen $e$e .

Därför är derivatan för exponentialfunktioner med basen $e$e extra lätt. Detta eftersom $\ln e=1$lne=1 och vi får att derivatan är densamma som ursprungsfunktionen om koefficienten i exponenten är lika med ett. Vi beräknar alltid $\ln e$lne direkt när det dyker upp. Det ska inte finnas med i svaret.

Närmevärdet till talet $e\approx2,71828$e≈2,71828 

Det är lätt att glömma bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

Vi får alltså INTE multiplicera basen med faktorn $k$k eller $\ln a$lna i   $f'(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ '(x)=C·a^kx·k·lna 

Med derivatan kan vi analysera funktionens utseende och egenskaper.

När funktionen är växande är derivatan positiv och alla tangenter i intervallet har en positiv lutning.
När funktionen är avtagande är derivatan negativ och alla tangenter i intervallet har en negativ lutning.

I extrempunkterna är $f'(x)=0$ƒ '(x)=0 . I dessa punkter hittar vi lokala och eventuellt globala maximi- och minimipunkter. Alla extrempunkter kan verifieras med antingen

1) Teckentabell

2) Andraderivatan

 $f''(x)<0$ƒ ''(x)<0 ger att punkten där $x=a$x=a är en maximipunkt

 $f''(x)>0$ƒ ''(x)>0 ger att punkten där $x=b$x=b är en minimipunkt

3) Skissa och resonera kring kurvans egenskaper.
    Tänk då på att det är funktionen och inte derivatans graf som vi ska föra vårt resonemang kring.

 $f(x)$ƒ (x) har en extrempunkt då  $f'(x)=0$ƒ '(x)=0   

 $f'(x)=0$ƒ '(x)=0 ger en maximipunkt då  $f''(x)<0$ƒ ''(x)<0 

 $f'(x)=0$ƒ '(x)=0 ger en minimipunkt då $f''(x)>0$ƒ ''(x)>0   

Då $f'(x)=0$ƒ '(x)=0 ger att $f''(x)=0$ƒ ''(x)=0  måste karaktären bestämmas med en teckentabell.

I teckentabellen får vi en bild av grafens utseende.

I tabellen kan vi läsa av extrempunkterna, deras karaktär och om funktionen är växande eller avtagande mellan dem.

Genom att beräkna fram $y$y-koordinaterna för extrempunkterna kan vi göra en ännu bättre skiss. Det gör vi genom att sätta in $x$x-värdena i funktionsuttrycket. Vi kan med fördel även bestämma var kurvan skär $y$y-axeln. Punktens $y$y-värde motsvarar alltid konstanttermen i uttrycket, eftersom $x=0$x=0 i denna punkt. Vi kan även bestämma funktionens nollställen, alltså där grafen skär $x$x-axeln, där $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 eller någon annan valfri punkt på grafen för att få en ännu noggrannare skiss.

Funktionen $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) om

 $F'(x)=f\left(x\right)$F'(x)=ƒ (x) 

Alltså om den primitiva funktionen $F$F:s derivata är lika med funktionen $f$ƒ  .

Med hjälp av en punkt på grafen kan vi bestämma konstanten $C$C. Har vi ingen punkt kan vi ta fram en genom att sätta in ett värde på $x$x som ingår i definitionsmängden och beräkna funktionsvärdet $f\left(x\right)$ƒ (x) och på så sätt få punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av alla förändringar i ett intervall.

Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean mellan en funktions kurva och $x$x-axeln i ett intervall.

Var noga med att få rätt på alla tecken när vi beräknar integralen! Ett tips kan vara att behålla parentesen och beräkna värdet i varje parentes innan subtraktionen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)−F(a) utförs.

I lektionen Tillämpning Integraler – E-uppgifter kan vi repetera sambandet mellan integralen och integranden.

I en rätvinklig triangel kan förhållandet mellan vinkeln, katetrarna och hypotenusan beskrivas med följande samband.

En enhetscirkel är en cirkel med sin medelpunkt i origo och radien $1$1 l.e. Vinkeln $v$v utgår i enhetscirkeln från $x$x-axeln och vrids i positiv riktning, vilket betyder moturs.

Punkten $P$P har koordinaten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y)i planet och i enhetscirkeln gäller då att  $y=\sin v$y=sinv  och  $x=\cos v$x=cosv vilket ger att punkten $P$P :s koordinat även kan anges som  $P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)$P(cosv, sinv).

Enhetscirkeln ger följande viktiga samband.

$\sin v=y$sinv=y

$\cos v=x$cosv=x

$\tan v=$tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv   , där  $\cos v\ne0$cosv≠0 

$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180^∘−v)=sinv 

$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180^∘−v)=−cosv 

Utifrån följande två trianglar kan vi teckna dessa exakta samband.

Halv kvadrat med sidan $1$1
     
Halv liksidig triangel med sidan  $2$2 

Figurerna ger följande trigonometriska samband.

Med hjälp av de tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kan vi bestämma okända areor, vinklar och sidor även till trianglar som inte är rätvinkliga.

Vi kan beräkna arean med areasatsen om vi känner till två sidor och mellanliggande vinkel. Formeln kan skrivas på tre olika sätt beroende på vilka sidor och vinklar som är givna. 

$\text{Triangelns area}=$Triangelns area= $\frac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\cdot c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\cdot c\cdot\sin B}{2}$a·b·sinC2 =b·c·sinA2 =a·c·sinB2 

Med sinussatsen  kan vi bestämma en okänd sida eller vinkel om vi, utöver en sida och motstående vinkel känner till ytterligare en sida eller vinkel. Följande tre förhållanden gäller.

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc 

Dessa går att skriva om till förhållandena

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$‍asinA =bsinB =csinC 

Sinussatsen kan ibland ge två olika aktuella vinklar. Det inträffar när ekvationen har två möjliga lösningar i intervallet  $0^{\circ}<$0^∘<  $v<180^{\circ}$v<180^∘ .  

Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor. Vi kan med den bestämma en okänd vinkel eller sidas längd, så länge vi känner till alla tre sidorna, eller två sidor och mellanliggande vinkel. 

Med hjälp av cosinussatsen kan vi ställa upp följande tre samband.

1:   $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a²=b²+c²−2·b·c·cosA

2:   $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B$b²=a²+c²−2·a·c·cosB

3:   $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c²=a²+b²−2·a·b·cosC

Observera att den här sammanfattningen inte är tillgänglig under det nationella provet.

Använd gärna några av våra kapiteltest för att repetera och fördjupa kunskaperna. Samtliga uppgifter har fullständiga förklaringar.

Aritmetik, Polynom och Rationella uttryck Ma3c
Derivatan och Deriveringsregler Ma3c
Grundläggande maximi och minimiproblem Ma3c
Derivatan och grafen Ma3c
Primitiva funktioner och Integraler Ma3c
Trigonometri Ma3c

Här kan vi hitta alla gamla nationella prov att öva på.

Tidigare nationella prov