00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller något av de trigonometriska sambanden sinus, cosinus eller tangens. I den här lektionen lär du dig att lösa ekvationer med sinus och cosinus fullständigt.

Allmän lösning till sinus

Grundekvation sinus

sinv=a\sin v=asinv=a  där 1a1-1\le a\le11a1 

Alla lösningar ges av

 v=sin1a+n360°v=\sin^{-1}a+n\cdot360°v=sin1a+n·360° och v=180°sin1a+n360°v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°v=180°sin1a+n·360° där  nnn är ett heltal

Allmän lösning till cosinus

Grundekvation cosinus

cosv=a\cos v=acosv=a  där 1a1-1\le a\le11a1 

Alla lösningar ges av

 v=±cos1a+n360°v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°v=±cos1a+n·360°  där  nnn är ett heltal

Metoden för att lösa trigonometriska ekvationer

Själva metoden för att lösa dessa ekvationer kan kortfattat beskrivas enligt följande:

  1. Se till att cos\coscos eller sin\sinsinstår ensamt på ena sidan av likhetstecknet först.
  2. Ta inversen (sinusinvers eller cosinusinvers) på bägge sidor av likhetstecknet. Det som händer då är att du får två olika lösningar med oändligt antal variationer på. Eftersom den så kallade periodiciteten för både sinus och cosinus är 360360^{\circ}360 får du alltid variationerna n360n\cdot360^{\circ}n·360 där nnn är ett heltal.

Några exempel på lösningar av trigonometriska ekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen sinx=0,5\sin x=0,5sinx=0,5 fullständigt

Lösning

 sinx=0,5\sin x=0,5sinx=0,5                              ta sinusinversen i båda led

 x=sin10,5+n360°x=\sin^{-1}0,5+n\cdot360°x=sin10,5+n·360°        beräkna de två möjliga vinklarna i HL

{x1=30°+n360°x2=(180°30°)+n360°\begin{cases} x_1=30°+n\cdot 360° \\ x_2=(180°-30°)+n\cdot 360° \end{cases}

vilket skrivs om till

{x1=30°+n360°x2=150°+n360°\begin{cases} x_1=30°+n\cdot 360° \\ x_2=150°+n\cdot 360° \end{cases} där nnn är ett heltal

Exempel 2

Lös ekvationen  cos2x=0,9\cos2x=0,9cos2x=0,9  fullständigt

Lösning

 cos2x=0,9\cos2x=0,9cos2x=0,9                                  ta cosinusinversen i båda led

 2x=±cos10,9+n3602x=\pm\cos^{-1}0,9+n\cdot360^{\circ}2x=±cos10,9+n·360    beräkna vinklarna i HL

 2x±25,8+n3602x\approx\pm25,8+n\cdot360^{\circ}2x±25,8+n·360                dividera båda led med 222 

 x±12,9+n180x\approx\pm12,9+n\cdot180^{\circ}x±12,9+n·180  där nnn är ett heltal

Observera att du ska dividera alla termer, det vill säga även perioden, när du löser ut xxx.

Exempel 3

Ange alla lösningar till  2cosx=0,7642\cos x=0,7642cosx=0,764 i intervallet 0x3600\le x\le360^{\circ}0x360.

Lösning

2cosx=0,7642\cos x=0,7642cosx=0,764                                     dividera båda led med 222 

cosx=0,382\cos x=0,382cosx=0,382                                       ta cosinusinversen i båda led

 x=±cos10,383+n360x=\pm\cos^{-1}0,383+n\cdot360x=±cos10,383+n·360              beräkna vinklarna i HL

 x±68+n360x\approx\pm68^{\circ}+n\cdot360^{\circ}x±68+n·360 

De lösningar som ligger i intervallet är

 x1=68x_1=68^{\circ}x1=68 

och

 x2=68+360=292x_2=-68^{\circ}+360^{\circ}=292^{\circ}x2=68+360=292