00:00
00:00
Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Rationella uttryck- vad är det?

Ett rationellt uttryck är en kvot av två polynom, alltså där både täljaren och nämnaren är polynom. Precis som för de rationella talen (bråktalen) får nämnaren aldrig vara lika med noll, för att uttrycket ska vara definierat.

Ett polynom är en summa av konstant- och variabeltermer, där variablerna alltid är basen av en potens med en exponenter som tillhör de naturliga talen. 

Det här avsnittet i kursen handlar bland annat om att förfina och vidare utveckla dina aritmetiska och algebraiska förmågor. Till din hjälp behöver du regler i aritmetiken som vi jobbade med i Ma2b eller Ma2c.

Definition av rationella uttryck och funktioner

Vi börjar med att ange definitionen av rationella uttryck. De rationella uttrycken kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras utifrån gällande räkneregler av bråk och på så sätt skapas nya rationella uttryck.

Ett rationellt uttryck en kvot av två polynom p(x)p(x)p(x) och q(x)q(x)q(x).

 p(x)q(x)\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}p(x)q(x)      där  q(x)0q(x)\ne0q(x)0 .

En rationell funktion är en funktion definierad av ett rationellt uttryck. Vi kommer i denna kurs särskilt ge uppmärksamhet åt de rationella funktionernas nollställen och definitionsmängd.

En rationell funktion r(x)r\left(x\right)r(x) definieras av kvoten av polynomen p(x)p(x)p(x) och q(x)q(x)q(x).

 r(x)=r\left(x\right)=r(x)= p(x)q(x)\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}p(x)q(x)      där  q(x)0q(x)\ne0q(x)0 .

Här följer några exempel på rationella funktioner.

Exempel 1

  r(x)=r(x)=r(x)= x+3x29\frac{x+3}{x^2-9}x+3x29  

 r(x)r\left(x\right)r(x) är en rationell funktion, där polynomet i täljaren är p(x)=x+3p\left(x\right)=x+3p(x)=x+3 och polynomet i nämnaren är q(x)=x29q\left(x\right)=x^2-9q(x)=x29 

Exempel 2

  r(x)=r(x)=r(x)= 5x\frac{5}{x}5x  

 r(x)r\left(x\right)r(x) är en rationell funktion, där polynomet i täljaren är p(x)=5p\left(x\right)=5p(x)=5 och polynomet i nämnaren är q(x)=xq\left(x\right)=xq(x)=x 

Som vi just sett, kan ett polynom bestå av endast en term som är en konstant. I exemplet var konstanten 555. Ett polynom som beskrivs a en konstant  kkk är av graden noll eftersom att kx0=kk\cdot x^0=kk·x0=k  där  kkk.

På liknade vis är alla polynom rationella uttryck då  p(x)=p\left(x\right)=p(x)=p(x)1\frac{p\left(x\right)}{1}p(x)1 

När är ett rationellt uttryck definierat eller inte definierat?

Precis som vi nämnde så finns det för rationella uttryck ibland värden för xxx där uttrycket inte är definierat.

Ett rationellt uttryck är inte definierat för de xxx -värdena, som ger att nämnaren blir lika med noll.

Division med noll är inte definierat för de talen vi räknar med i denna kursen, så därför är division med noll en ”förbjuden” operation. Vi kan därför inte heller beräkna uttryckets värde när nämnaren är lika med noll. 

Exempel 3

Ange det rationella uttrycket  x2+x10x\frac{x^2+x}{10-x}x2+x10x   definitionsmängd.

Lösning

Om nämnaren antar värdet noll är uttrycket inte definierat. Det är definierat för alla andra värden på xxx.

10x=010-x=010x=0  då  x=10x=10x=10 .

Alltså gäller att uttrycket är definierat för alla xxx förutom x=10x=10x=10. Vi kan skiva uttryckets definitionsmängd som x10x\ne10x10.

Exempel 4

När är det rationella uttrycket  x+10x2x\frac{x+10}{x^2-x}x+10x2x   inte definierat? 

Lösning

Vi tar reda på när nämnaren  x2x=0x^2-x=0x2x=  eftersom att uttrycket då inte är definierat.

x2x=0x^2-x=0x2x=0         bryt ut  xxx

x(x1)=0x(x-1)=0x(x1)=0

Nollproduktmetoden ger att

{x1=0x2=1\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=1\end{cases}

Uttrycket är inte definierat för  x1=0x_1=0x1=0  och  x2=1x_2=1x2=1

Beräkna ett rationellt uttrycks värde

Vi beräknar ett rationellt uttrycks värde på samma vis som ett funktions värde, genom att byta ut variablerna mot variabelns värde.

Exempel 5

Beräkna värdet för  r(x)=r(x)=r(x)= 3x+x211x2\frac{3x+x^2}{11x-2}3x+x211x2   då  x=2x=2x=2

Lösning

 r(2)=r(2)=r(2)= 32+221122=\frac{3\cdot2+2^2}{11\cdot2-2}=3·2+2211·22 = 6+4222=1020=12\frac{6+4}{22-2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}6+4222 =1020 =12 

När används rationella uttryck?

Att känna till och att kunna hantera polynom och rationella uttryck med aritmetikens lagar, är en del av kurserna Ma3b och Ma3c.

Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- och värdemängd till.

Arbetet i algebran med förenkling av uttrycken, är ett viktigt mål i sig självt. I denna kurs behöver man ofta ta hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna. Det blir även nödvändigt att kunna förenkla rationella uttryck för att klara av en annan central del av kursen, nämligen derivatan.

Derivatan definieras nämligen av ett rationellt uttryck. Din förmåga att kunna utveckla och förenkla rationella uttryck kommer då att vara mycket användbar.

Exempel i videon

  • Exempel på när 5x2+x2x+10\frac{5x^2+x}{2x+10} inte är definierat.
  • För vilket x är uttrycket P(x)=3x2x1P(x)= \frac{3{x}-2}{x-1} inte definierat?
  • För vilka x är uttrycket P(x)=42x216x18P(x)= \frac{4}{2x^2-16{x}-18} inte definierat?
  • Beräkna P(2)P(-2)P(x)=12x24x2P(x)=\frac{12-x}{24-x^2}.