00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Derivatan och grafen

Tillämpning Derivata - Optimeringsproblem

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vid tillämpning av derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser.

Vi har i lektionen Problemlösning med derivatan redan gett en hel det tips att tänka på vid problemlösning och tillämpning av derivatan. Men i denna lektion vill vi sammanfatta det vi adderat i detta kapitel. 

Tre olika sätt att bestämma extrempunktens karaktär

För att få full poäng vid tillämpning och problemlösning måste du oftast motivera och argumentera för ditt svar. När det gäller derivatan måste du tänka på att verifiera punkternas karaktär. Alltså motivera om din extrempunkt är en maximi- eller minimipunkt eller om punkten är en terrasspunkt. Detta kan du göra på olika sätt. Antingen gör du en teckentabell, använder andraderivatan eller argumenterar för funktionens utseende.

Teckentabell och extrempunktens karaktär

Med hjälp av teckentabellen kan du avgöra karaktären på extrempunkten. Här har vi ett exempel på en teckentabell.

Det är ganska tidskrävande att ta fram en tecken tabell, men ger en tydlig bild av grafens utseende. Detta sätt är mycket användbart då du ska skissa en graf. Vill du bara veta om det är en maximi- eller minimipunkt du fått fram när du satt derivatan lika med noll är detta sätt lite onödigt tidskrävande. Du kan istället bara använda dig av andraderivatan. Se nedan.

För att repetera hur du konstruerar en teckentabell så återvänd till lektionen Nollställen och teckentabeller.

Andraderivatan och extrempunktens karaktär

Andra derivatan är ett snabbt sätt att avgöra karaktären på extrempunkten.

Andraderivatan och extrempunkter

Om andraderivatan är lika med noll i extrempunkten måste karaktären avgöras på ett annat sätt, tex med en teckentabell.

Grafen och extrempunktens karaktär

Genom att resonera kring grafens utseende kan man ange extrempunktens karaktär. Här kommer en kort överblick av några polynomfunktioners utseende.
Polynomfunktioners graf

Grafen till en polynomfunktion med negativ koefficient vid den dominerande termen kommer alltid gå mot ett negativ värde då  x+x\rightarrow+\inftyx+

Grafen till en polynomfunktion med positiv koefficient vid den dominerande termen kommer alltid gå mot ett positivt värde då  x+x\rightarrow+\inftyx+

Rimlighet och överslagsräkning

Tänk på att alltid kontrollera att ditt svar är rimligt, svarar på det som efterfrågas och har korrekt enhet. Ett tips är att göra till en vana att alltid uppskatta vad du tror att svaret skulle kunna vara, alltid skriva ett tydligt svar längst ner efter din uträkning och stämma av detta med uppgiftens fråga innan du går vidare till nästa uppgift.

Genom att studera enheterna i uppgiften och vad som efterfrågas i svaret kan du ibland får en ledning i hur uppgiften ska lösas.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.

Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.

Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är  0-0-0  eller  +0++0++0+.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde eller Extremum
Samlingsnamn på maximum eller minimum.

Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global

Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden

Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden

Exempel i videon

  • Katten Sickan älskar att hoppa efter en tygråtta. Hennes höjd kan beskrivas med funktionen f(x)=4x4x2f(x)=4x-4x^2 där xx är tiden i sekunder. Hur högt hoppar hon?
  • Företaget specialcans.com skall designa en cylinderformad burk med förhållandet enligt figuren (se video). Bestäm radie och höjd för att få maximal volym.
  • Modellen T(x)=0,05x31,02x2+6xT\left(x\right)=0,05x^3-1,02x^2+6xT(x)=0,05x31,02x2+6x, där xxx är tiden i timmar efter midnatt, beskriver en vinterdag temperaturen TTT °C i ett växthus. Modellen gäller endast för dygnets första 101010 timmar. Bestäm den högsta temperaturen under de 101010 första timmarna.