00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Derivata och deriveringsregler
Derivata

Deriveringsregler Potensfunktioner

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Precis som vi nämt tidigare, kan alla deriveringsregler härledas från derivatans definition. Med hjälp av reglerna förenklar och effektiviserar vi deriveringen. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för potensfunktionen. Den är identisk med regeln för polyomfunktioner eftersom att en polynomfunktion är en typ av en potensfunktion.

För att möjliggöra användandet av regeln måste vi oftast skriva om potensfunktionen i potensform innan vi tillämpar regeln.

Potensregler som är viktiga för derivering av potensfunktioner

Följande potensregler används ofta för att skriva om uttrycken i potensform.

 a0=1a^0=1a0=1 

 a−n=a^{-n}=a−n=  1an\frac{1}{a^n}1an  

 a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}√a=a12  

 an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}n√a=a1n  

Det kan alltså vara bra att känna till dessa eller ha dem nära till hands när du deriverar potensfunktioner.

Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna

Förutom dessa omskrivningar så gäller samma deriveringsregler för potensfunktioner som också gäller för polynomfunktioner, nämligen att

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         1an\frac{1}{a^n}1an   =a−n=a^{-n}=a−n    som ger att  kxn=\frac{k}{x^n}=kxn =  kx−nkx^{-n}kx−n 

         an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}n√a=a1n    som ger att  x=x12\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}√x=x12  

Nu visar vi exempel med potensfunktioner. Först med en lösning i bråkform och sedan i decimalform. Vilken du använder spelar ingen roll. De är likvärdiga. Men för tal med andra siffror kan de två olika varianterna vara olika fördelaktiga. Så det är bra om du kan båda sätten.

Exempel 1 -Bråkform

Derivera  f(x)=2⋅xf(x)=2\cdot\sqrt{x}ƒ (x)=2·√x 

Lösning

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}√a=a12 . 

 f(x)=2⋅x=2⋅x12f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}ƒ (x)=2·√x=2·x12  

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 f′(x)=12⋅2⋅x−12f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot x^{-\frac{1}{2}}ƒ ’(x)=12 ·2·x−12  vilket i nu kan skriva om igen på formen   f’(x)=1⋅x−12=f’\left(x\right)=1\cdot x^{-\frac{1}{2}}=ƒ ’(x)=1·x−12 = 1x12=1x\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}1x12  =1√x  

En del föredrar decimalform framför bråkform. Vi gör nu samma exempel i decimalform för den som vill.

Exempel 1- Decimalform

Derivera  f(x)=2⋅xf(x)=2\cdot\sqrt{x}ƒ (x)=2·√x 

Lösning

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  a=a0,5\sqrt{a}=a^{0,5}√a=a0,5. 

 f(x)=2⋅x=2⋅x0,5f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{0,5}ƒ (x)=2·√x=2·x0,5 

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 f′(x)=0,5⋅2⋅x−0,5f'(x)=0,5\cdot2\cdot x^{-0,5}ƒ ’(x)=0,5·2·x−0,5  vilket i nu kan skriva om igen på formen   f’(x)=1⋅x−0,5=f’\left(x\right)=1\cdot x^{-0,5}=ƒ ’(x)=1·x−0,5=1x0,5=1x\frac{1}{x^{0,5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}1x0,5 =1√x  

I exemplet här ovan tillämpar vi potensreglerna både för att skriva om funktionen och för att skriva om derivatan. Så återigen så kan det vara viktigt att nämna att dessa är bra att kunna utantill alternativt ha nära till hands i exempelvis ett formelblad.

Exempel 2

Derivera  f(x)=f(x)=ƒ (x)= 4x3\frac{4}{x^3}4x3  

Lösning

Vi skriver om funktionen i potensform med hjälp av regeln1an=\frac{1}{a^n}=1an = a−na^{-n}a−n, för att sedan lättare utföra deriveringen.

 f(x)=f(x)=ƒ (x)= 4x3=\frac{4}{x^3}=4x3 =  4x−34x^{-3}4x−3   ⇒   f′(x)=−3⋅4x−3−1=−12x−4=f'(x)=-3\cdot4x^{-3-1}=-12x^{-4}=ƒ ’(x)=−3·4x−3−1=−12x−4= −12x4-\frac{12}{x^4}−12x4   

Tyckte du det var svårt att förstå hur omskrivningen gick till är här ett försök att förtydliga det.

  4x3=4⋅11⋅x3=41⋅1x3=\frac{4}{x^3}=\frac{4\cdot1}{1\cdot x^3}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{x^3}=4x3 =4·11·x3 =41 ·1x3 = 4⋅x−34\cdot x^{-3}4·x−3   

och

     −12x−4=-12x^{-4}=−12x−4=  −12⋅x−41⋅1=−121⋅x−41=−121⋅1x4=−12x4\frac{-12\cdot x^{-4}}{1\cdot1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{x^{-4}}{1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{1}{x^4}=-\frac{12}{x^4}−12·x−41·1 =−121 ·x−41 =−121 ·1x4 =−12x4   

Du behöver inte redovisa alla dessa steg i din uträkning. Men kanske de är bra att göra till en början, om du tycker att det är lite hokuspokus hur siffror och variabler rör sig upp och ner i bråken.

Exempel i videon

  • Exempel på användning av potenslagarna a−x=1ax,a≠0 a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}, a ≠ 0 och a1/n=an a^{1/n}=\sqrt[n]{a} .
  • Derivera f(x)=−4x−5 f(x)=-4x^{-5} .
  • Derivera f(x)=4x12 f(x)=4x^{\frac12}
  • Derivera f(x)=x f(x)=\sqrt{x}
Nästa lektion: Talet e och den naturliga logaritmen ln

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server