00:00
00:00
KURSER  / 
Högskoleprovet matematik
/  NOG – Strategier och typiska problem

Räkna med Komplexa Tal

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Beräkningar med de komplexa talen fungerar till stor del på samma sätt som för reella tal. Samma aritmetiska och algebraiska räkneregler går att tillämpa vid addition, subtraktion, multiplikation och division, med tillägget att man definierat talet iii, som har egenskapen att  i2=−1i^2=-1i2=−1. Denna egenskap leder till att vi får en del speciella fall, framförallt när vi multiplicerar eller dividerar komplexa tal.

Addera komplexa tal

Addition av komplexa tal genomförs på samma sätt som vid reella algebraiska uttryck. I detta fall läggs de reella delarna ihop för sig och de imaginära för sig.

Exempel 1 

Addera de komplexa talen  z=(3+3i)z=(3+3i)z=(3+3i)  och  w=(8−9i)w=(8-9i)w=(8−9i).

Lösning

Vi adderar realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.

 z+w=(3+3i)+(8−9i)=z+w=(3+3i)+(8-9i)=z+w=(3+3i)+(8−9i)= 3+3i+8−9i=3+3i+8-9i=3+3i+8−9i= 11−6i11-6i11−6i 

Subtrahera komplexa tal

Vid subtraktion av komplexa tal gäller, precis som vid addition, att de reella delarna läggs ihop för sig och de imaginära för sig.

Exempel 2 

Subtrahera de komplexa talen  z=(3+i)z=(3+i)z=(3+i)  och  w=(4+8i)w=(4+8i)w=(4+8i).

Lösning

Vi subtraherar realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.

 z−w=(3+i)−(4+8i)=z-w=(3+i)-(4+8i)=z−w=(3+i)−(4+8i)= 3+i−4−8i=3+i-4-8i=3+i−4−8i= −1−7i-1-7i−1−7i 

Multiplikation med komplexa tal

Den distributiva och den utvidgade distributiva lagen används för att genomföra multiplikation av komplexa tal. Vi kan sen förenkla uttrycket ytterligare genom att använda definitionen av den imaginära enheten,  i2=−1i^2=-1i2=−1.

Distributiva lagen

 a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac 

Utvidgade distributiva lagen

 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\left(a+b\right)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 

Exempel 4

Beräkna produkten av de komplexa talen  z=(3+i)z=(3+i)z=(3+i)  och  w=(4+8i)w=(4+8i)w=(4+8i).

Lösning

 z⋅w=(3+i)⋅(4+8i)=z\cdot w=(3+i)\cdot(4+8i)=z·w=(3+i)·(4+8i)= 12+24i+4i+8i2=12+24i+4i+8i^2=12+24i+4i+8i2= 12+28i+8i212+28i+8i^212+28i+8i2 

Vi förenklar uttrycket med hjälp av att  i2=−1i^2=-1i2=−1 

 z⋅w=12+28i+8⋅(−1)=z\cdot w=12+28i+8\cdot(-1)=z·w=12+28i+8·(−1)= 12+28i−8=12+28i-8=12+28i−8= 4+28i4+28i4+28i  

Division med komplexa tal

För att kunna dividera två komplexa tal med varandra behöver man förlänga täljare och nämnare med nämnarens komplexa konjugat. Detta för att få ett reellt tal i nämnaren. Då kan vi förenkla uttrycket genom att beräkna realdelen och imaginärdelen, och skriva ett komplext tal på formen  a+bia+bia+bi  istället för en kvot.

Exempel 5

Beräkna kvoten av de komplexa talen  z=3+iz=3+iz=3+i  och  w=4+8iw=4+8iw=4+8i.

Lösning

Vi skriver kvoten och förlänger med nämnarens komplexa konjugat  w‾=4−8i\overline{w}=4-8iw=4−8i, för att få ett reellt tal i nämnaren. 

 zw=3+i4+8i=\frac{z}{w}=\frac{3+i}{4+8i}=zw =3+i4+8i = (3+i)(4−8i)(4+8i)(4−8i)=\frac{(3+i)(4-8i)}{(4+8i)(4-8i)}=(3+i)(4−8i)(4+8i)(4−8i) = 12−24i+4i−8i216−32i+32i−64i2=\frac{12-24i+4i-8i^2}{16-32i+32i-64i^2}=12−24i+4i−8i216−32i+32i−64i2 = 12−20i+816+64=\frac{12-20i+8}{16+64}=12−20i+816+64 = 20−20i80=\frac{20-20i}{80}=20−20i80 = 14−14i\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i14 −14 i 

eller om vi vill svara i decimalform:  0,25−0,25i0,25-0,25i0,25−0,25i

Räkneregler för komplexa tal

Exempel i videon

  • Beräkna z+w z + w då z=4−iz = 4-i och w=−2+2iw = -2+2i.
  • Beräkna z–w z – w då z=4−iz = 4-i och w=−2+2iw = -2+2i.
  • z=4−iz = 4-i och w=−2+2iw = -2+2i. Beräkna z⋅wz⋅w
  • Utveckla (−2+3i)2(-2 + 3i)^2 och förenkla till formen a+bia + bi.
  • Skriv 2−i3−i\frac{2-i}{3-i} på formen a + bi
Nästa lektion: Antal okända och samband utifrån ekvationer på NOG

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server