Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Eulers formel
Eulers formel är ett kompakt sätt att skriva komplexa tal. För att använda Eulers formel behöver talet först vara skrivet på polär form.
Eulers formel
$\cos v+i\text{ }\sin v=e^{iv}$cosv+i sinv=eiv
Metod för att skriva om med Eulers formel
Följande steg kan användas för att skriva om ett tal $z=a+bi$z=a+bi :
- Bestäm absolutbeloppet $r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$r=|z|=√a2+b2
- Bestäm argumentet $v=\text{arg}z$v=argz , och skriv argumentet med vinkelmåttet radianer.
- Skriv på polär form: $z=r\left(\cos v+i\sin v\right)$z=r(cosv+isinv)
- Använd Eulers formel och substituera $\left(\cos v+i\sin v\right)$(cosv+isinv) mot $e^{iv}$eiv.
Det ger $z=r\left(\cos v+i\sin v\right)=r\cdot e^{iv}$z=r(cosv+isinv)=r·eiv
Ofta kan det vara användbart att använda sig av exakta trigonometriska värden för att skriva om komplexa tal med hjälp av formeln.
Exempel 1
Skriv om talet $z=3+4i$z=3+4i med hjälp av Eulers formel.
Lösning
Vi följer metoden som beskrivs ovan.
- $r=\left|z\right|=$r=|z|= $\sqrt{3^2+4^2}=$√32+42= $\sqrt{25}=$√25= $5$5
- $v=\text{arg}z=$v=argz= $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)=$tan−1(43 )= $0,927…\approx$0,927…≈ $0,93\text{ }$0,93 rad
- Polär form: $z=5\left(\cos0,93+i\sin0,93\right)$z=5(cos0,93+isin0,93)
- Eulers formel ger: $z=5\cdot e^{i\cdot0,93}=$z=5·ei·0,93= $5e^{0,93i}$5e0,93i
Exempel i videon
- Skriv om $z=\sqrt{3}+i$z=√3+i med Eulers formel.
- Skriv om $z=e^{i\pi}$z=eiπ på formen $z=a+bi$z=a+bi .
- Skriv om talet markerat i talplanet (se bild i video) med hjälp av Eulers formel.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Skriv om talet $z=4(\cos\pi+i\sin\pi)$z=4(cosπ+isinπ) med hjälp av Eulers formel.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
2. Premium
Skriv om talet $z=1+i$z=1+i med Eulers formel.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Skriv $z=2e^{i\frac{\pi}{2}}$z=2eiπ2 på formen $a+bi$a+bi .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
4. Premium
Skriv om talet $i$i med Eulers formel. Svara på formen $re^{iv}$reiv.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Eulers formelLiknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Bestäm $\left|z\right|$|z| då $z=e^{5+i\pi}$z=e5+iπ .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Eulers formelLiknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
6. Premium
Visa att $z=e^{2\left(1+i\pi\right)}$z=e2(1+iπ) är ett reellt tal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Eulers formelLiknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
7. Premium
Beräkna $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)^4$(√32 +12 i)4 . Svara på formen $re^{iv}$reiv .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Eulers formelLiknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Ange en lösning till ekvationen $2e^z=-\sqrt{3}-i$2ez=−√3−i .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Eulers formelLiknande uppgifter: Eulers formel komplexa tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Joakim,
när du ska läsa av inversen för de trigonometriska funktionerna så ”går vi baklänges” i tabellen.
Tangensnversen och arctan är två olika benämningar på samma sak
$\tan^{-1} v=\arctan v$
Har vi då att
$\tan v = \frac{1}{\sqrt{3}}$ kan vi bestämma värdet på $\arctan$ genom att i tabellen titta vilken vinkel $v$ som ger värdet $ \frac{1}{\sqrt{3}}$ för tan.
$\tan v = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\arctan (\tan v) = \arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$
$v = \arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$
$v = \frac{\pi}{6}$
Så vet du vet du vinken kan du bestämma värdet genom att läsa av tabellen och vet du värdet kan du på liknande vis bestämma vinkeln genom att läsa av vinkeln med hjälp av tabellen.
Gick det att hänga med på?
BotenAnnie
hur vet man att arctan för pi/6 är just 1/roten ur 3 ? 60 grader i spec triangeln om man tar motstående / närstående för tan blir det roten ur 3 / 1 – är det inte den jag ska titta efter ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Liknande värden som $arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$ är svåra att bara att komma på (det går förstås att härleda dem) utan det vanligaste är att ett formelblad används. Där hittar man exakta trigonometriska värden.
Jafar Fathullah
Jag undrar var för går ni inte genom beviset på Eulers formel. Jag vill jättegärna förstår den.
Endast Premium-användare kan kommentera.