00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2c
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen lär du dig hur du löser exponentialekvationer med logaritmer. Vi går igenom vad en logaritm är, samt hur man använder dem för att lösa ekvationer.

De ekvationer vi löser med logaritmer kallas för exponentialekvationer. Vi repeterar kort vad det är nedan.

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

När vi löser ekvationer med logaritmer använder vi oss av följande definition av logaritmen.

Tiologaritmen av ett tal yyy är den exponent xxx man måste upphöja basen 101010 till, för att få talet yyy. 

Förutsättningen för omskrivningen är att yyy alltid är ett positiv tal. Det vill säga  y>0y>0y>0 .

Vi ska alldeles strax titta på hur vi använder detta för att lösa exponentialekvationer. Men vi börjar med varför det fungerar.

Skriv om på basen tio

I lektionen Tiologaritmen lärde vi oss bland annat lösa ekvationen 10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000 genom att skriva en miljon som tiopotensen 10610^6106

10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000    ⇔   10x=10610^x=10^610x=106

Om VL ska bli identiskt med HL måste x=6x=6x=6. Ekvationen svarar alltså på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en miljon.

Men hur löser vi ekvationen ekvationen 37x=1237^x=1237x=12 ? Alltså hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Men metoden med att skriv om på basen tio hjälper oss fortfarande, även om det är lite krångligare denna gången. Men misströsta inte! Snart att presentera en relativ enkel metod. Och med en del övning kommer du snart lösa vilken exponentialekvation som helst!

Exempel 1

Lös ekvationen  37x=1237^x=1237x=12

Lösning

Vi börjar med att skriva om både 373737 och 121212 så att de står på basen tio. Vi vet från teorin i lektioner om tiologaritmer att lg37\lg37lg37 är det tal vi upphöjer tio till för att få 373737 och lg12\lg12lg12 är det tal vi upphöjer tio till för att få 121212 . Vi kan alltså skriva

 37=10lg3737=10^{\lg37}37=10lg37  och  12=10 lg1212=10^{\text{ }\lg12}12=10lg12 

Då kan vi skriva ekvationen  37x=1237^x=1237x=12  som

(10lg37)x=10lg12\left(10^{\lg37}\right)^x=10^{\lg12}(10lg37)x=10lg12

Med potensregeln (ax)y=axy(a^x)^y=a^{x\cdot y}(ax)y=ax·y  kan vi skriva om VL.

 10xlg37=10lg1210^{x\cdot\lg37}=10^{\lg12}10x·lg37=10lg12 

VL = HL och båda leden har samma bas måste likhet även råda mellan exponenterna. Vi får alltså att

xlg37=lg12x\cdot\lg37=\lg12x·lg37=lg12

Dividera båda leden med  lg37\lg37lg37 för att få variabeln xxx själv.

x=x=x= lg12lg37\frac{\text{ }\lg12}{\lg37}lg12lg37 

Detta är den exakta lösningen på ekvationen. I vissa fall väljer man att beräkna ett närmevärde med hjälp av räknaren och svara med det avrundade svaret  x0,69x\approx0,69x0,69 i stället.

Värt att nämna är att du inte behöver skriva om ekvationen på detta vis varje gång, utan utifrån detta exempel kan vi presentera den mycket användbara logaritmlagen

lgx p=plgx\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg xlgx p=p·lgx

Se i exempel nedan.

Kort om logaritmer

Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Med hjälp av logaritmlagar kan vi skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen. Det innebär att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering.

För att hänga med i tanken vid ekvationslösningen kan en mening hjälpa.  lg\lglg kan utläsas som ”det tal tio ska upphöjas till för att bli…”

Det gäller även för alla andra baser.

Exempel 3

Lös ekvationen  108x=2410\cdot8^x=2410·8x=24

Lösning

Vi löser ekvationen med logaritmer.

108x=2410\cdot8^x=2410·8x=24                               dividera båda leden med  101010 

 8x=2,48^x=2,48x=2,4                                      ta logaritmen av båda leden

lg 8x=lg 2,4\text{lg }8^x=\text{lg }2,4lg 8x=lg 2,4                             skriv om VL med logaritmlagen  lgx p=plgx\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg xlgx p=p·lgx

xlg8=lg2,4x\cdot\lg8=\lg2,4x·lg8=lg2,4                         dividera båda leden med lg8\lg8lg8 

x=x=x=  lg2,4lg8\frac{\lg2,4}{\lg8}lg2,4lg8 

vilket är ekvationens exakta lösning. Närmevärdet på lösningen är x0,42x\approx0,42x0,42

Vi kontrollerar vår lösning, det man kallar för att verifiera lösningen.
 VL=108lg2,4lg8=24VL=10\cdot8^{\frac{\lg2,4}{\lg8}}=24VL=10·8lg2,4lg8 =24 
 HL=24HL=24HL=24 

vilket ger attVL=HLVL=HLVL=HL och x=x=x= lg2,4lg8\frac{\lg2,4}{\lg8}lg2,4lg8   är där med en lösning till ekvationen.

Kombinera potensregler och logaritmlagar

När du ska lösa lite med invecklade exponentialekvationer är det ofta till hjälp, eller rent av nödvändigt, att skriva om uttryck med potenslagarna.

Exempel 4

Lös ekvationen  3x32x=103^x\cdot3^{2x}=103x·32x=10

Lösning

Vi löser ekvationen med logaritmer.

3x32x=103^x\cdot3^{2x}=103x·32x=10              förenkla VL med potenslagen axay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y}ax·ay=ax+y

33x=13^{3x}=133x=1                    ta logaritmen av båda leden

lg33x=lg10\lg3^{3x}=\lg10lg33x=lg10          skriv om VL med logaritmlagen lgx p=plgx\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg xlgx p=p·lgxoch beräkna HL

3x lg3=13x\cdot\text{ }\lg3=13x· lg3=1

x=x=x=  13lg3\frac{1}{3\cdot\lg3}13·lg3 

vilket är ekvationens exakta lösning. Närmevärdet på lösningen är  x0,699x\approx0,699x0,699

Logaritmens graf

En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera dess graf och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den blåa grafen motsvara funktionen  y=10xy=10^xy=10x.  Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där xxx så väl som yyy är okända. Detta eftersom att grafen visar att vi kan skriva alla positiva heltal som en tiopotens.

Vi vet att 10=10x10=10^x10=10x ger lösningen x=1x=1x=1. Vi kan läsa av detta i grafen genom att leta reda på punkten där y=10y=10y=10 och avläsa tillhörande xxx-värdet som är  x=1x=1x=1.

På liknande vis kan vi lösa ekvationen 3,98=10x3,98=10^x3,98=10x.  Vi söker upp punkten på grafen som har yyy-värdet y=3,98y=3,98y=3,98 och får en approximativ, det vill säga ungefärlig,  lösningen x0,6x\approx0,6x0,6.

När vi söker värdet på y=100,6y=10^{0,6}y=100,6  får vi att y3,98y\approx3,98y3,98. Det innebär då i omvänd ordning, att ekvationen 0,6=lgy0,6=\lg y0,6=lgy har lösningen y3,98y\approx3,98y3,98, då logaritmen står för ”det tal tio ska upphöja till för att bli..”

I digitala verktyg finns automatiska funktioner som tar fram detta värde så att vi slipper det tidsödande arbetet att läsa av en graf eller tabell, för att ta reda på olika logaritmvärden.

Vanliga fel

Det är vanligt att man glömmer att dividera bort en eventuell koefficient innan man logaritmerar båda leden. Då blir det fel! Förenkla först så att du har potensen axa^xax själv i ena ledet, innan du sätter i gång och löser ekvationen med hjälp av logaritmen.

Ett annat vanligt fel är att man tror att lgA lgB\frac{\lg A}{\text{ }\lg B}lgAlgB   är det samma som lg\lglgAB\frac{A}{B}AB . Det är det inte!

Det ser vi tex med hjälp av detta exempel.

lg103lg102=32=\frac{\lg10^3}{\lg10^2}=\frac{3}{2}=lg103lg102 =32 =1,51,51,5

som inte är det samma som

lg103102=lg1000100=\lg\frac{10^3}{10^2}=\lg\frac{1000}{100}=lg103102 =lg1000100 = lg10=1\lg10=1lg10=1

Beräkna logaritmer med din räknare

Här visar vi hur du skriver lg12lg37\frac{\text{ }\lg12}{\lg37}lg12lg37  på en TI83

Olika digitala hjälpmedel har lite olika sätt att skriva in logaritmer för att beräkningen ska bli rätt. Undersök och träna så att du är bekväm med just ditt hjälpmedel. Om du inte vet hur du ska göra så googla så kan du troligtvis hitta en instruktion eller video om hur man gör på just ditt hjälpmedel.

Vad är en exponentialekvation?

I lektionen exponentialfunktioner gick vi igenom vad som gör att en ekvation kallas exponentiell.

En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten.

Formeln för en exponentialekvation kan skrivas på följande vis.

Cax=yC\cdot a^x=yC·ax=y        där  C, aC,\text{ }aC, a och yyy är konstanter och xxx vår variabel.

Det är dessa ekvationer vi behöver logaritmer till för att kunna lösa algebraiskt!

Logarimlagar

För att underlätta lösning av svårare ekvationer och beräkningar med logaritmer kan man använda logarimlagarna. För den som är intresserad hittar du dem i lektionen Logarimlagar och logarimekvationer. Men de är inte längre ett lika tydligt centralt innehåll i denna kursen.

Logaritmer med olika baser

Det allmänna skrivsättet för logaritmen är  loga(b)\log_a\left(b\right)loga(b). Vi beräknar med logaritmen det värde som motsvarar den exponent xxx man upphöjer basen aaa till, för att få talet bbbVanligt är, som vi redan nämnt, att använda logaritmen med basen tio. Med vi kan lika gärna använda en annan bas. Här följer några krångliga sätt att skriva talet tre på.

3=lg103=log5(53)=loge(e3)=loga(a3)3=\lg10^3=\log_5\left(5^3\right)=\log_e\left(e^3\right)=\log_a\left(a^3\right)3=lg103=log5(53)=loge(e3)=loga(a3)  eftersom att  x=loga(ax)x=\log_a\left(a^x\right)x=loga(ax) .

I matematik 3 kommer den naturliga logaritmen, som har basen eee, att introduceras och användas mycket. Men det tar vi då.

Exempel i videon

Lös ekvationen  5x=35^x=3
Lös ekvationen  4x=84^x=8
Lös ekvationen  26x=132\cdot6^x=13