00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Förskjutningar i höjdled och sidled

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Förskjutning uppåt och nedåt

Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.

Förskjutningar i höjdled Trigonometriska funktioner

y=Asink(x+v)+B y= A \sin k(x + v) + B

Om konstanten B<0B<0B<0 förskjuts kurvan nedåt.
Om konstanten B>0B>0B>0 förskjuts kurvan uppåt.

Vi kan beräkna förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.

Förskjutningen i höjdled  B=Sto¨rsta funktionsva¨rdet – AmplitudenB=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}B=Största funktionsvärdet – Amplituden   

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Exempel 1

Ange värdet på konstanterna BBB och CCC.

Förskjutningar i höjdled sinusfunktionen

Lösning

Förskjutning i höjdled ges av att man adderar en konstant.

Vi ser att den svarta kurvan är förskjuten två steg uppåt vilket ger att B=2B=2B=2.
Den röda kurvan är förskjuten ett steg nedåt vilket ger att C=1C=-1C=1 .

Förskjutning höger och vänster

Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en vinkel adderat till variabeln. 

Förskjutningar i sidled Trigonometriska funktioner

Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.

y=Asink(x+v)+B y= A \sin k(x + v) + B

Om  v>0v>0v>0  förskjuts kurvan åt vänster.
Om  v<0v<0v<0  förskjuts kurvan åt höger.

Du kan läsa av värde för vvv i grafen genom avståndet från yyy -axeln och den punkt där kurvan har sitt jämnviktsläge.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Exempel 2

Figuren visar kurvan till en sinusfunktion på formen  y=sin2(x+v)y=\sin2\left(x+v\right)y=sin2(x+v). Ange värdet på vvv.

Trigonometrisk funktion

Lösning

Formeln beskriver en positiv sinuskurva, vilken utan förskjutning skär origo i punkten där grafen går från att vara konvex till att bli konkav (inflextionspunkt). Denna punkt hittar vi där kurvan skär xxx-axeln underifrån, om den inte är förskjuten i höjdled vill säga.

Trigonometrisk funktion föskjutning

Vi ser att denna ”startpunkt” är förskjuten 6060^{\circ}60 åt vänster, vilket leder till att v=60v=60^{\circ}v=60

Kurvan i bilden kan alltså beskrivas med funktionen  y=sin2(x+60)y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)y=sin2(x+60).

Addera eller subtrahera vinkeln v?

Varför ska man addera 6060^{\circ}60 trots att punkten där grafen skär xxx-axeln är 60-60^{\circ}60? Borde det inte vara v=60v=-60^{\circ}v=60 istället?

Eftersom att kurvan är förskjuten åt vänster kommer man behöva addera 6060^{\circ}60 till varje xxx -värde för att få samma funktionsvärde, det vill säga yyy-värde.

Den blå kurvan tillhör y=sin2(x+60)y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)y=sin2(x+60) och den röda streckade tillhör y=sin2xy=\sin2xy=sin2x.
Trigonometrisk funktion förskjutning
Vi ser att x=30x=30^{\circ}x=30 i den blå grafen ger att

sin2(30+60)=sin290=sin180=0\sin2\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\cdot90^{\circ}=\sin180^{\circ}=0sin2(30+60)=sin2·90=sin180=0

I den röda streckade grafen motsvaras samma yyy-värde av vinkeln x=90x=90^{\circ}x=90, det vill säga 6060^{\circ}60 mer, eftersom att

sin290=sin180=0\sin2\cdot90^{\circ}=\sin180^{\circ}=0sin2·90=sin180=0

På liknade vis gäller att x=150x=150^{\circ}x=150 för y=sin2(x+60)y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)y=sin2(x+60) ger samma värde som x=210x=210^{\circ}x=210 för y=sin2xy=\sin2xy=sin2x eftersom att

sin2(150+60)=sin2(210)=sin4200,87\sin2\left(150^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\left(210^{\circ}\right)=\sin420^{\circ}\approx0,87sin2(150+60)=sin2(210)=sin4200,87

Användbara begrepp när du skissa trigonometriska funktioner

Här sammanfattar vi begrepp kring de trigonometriska funktionera. Återvänd till respektive lektion för mer information.

Sammanfattning trigonometrisk funktion förskjutning i höjdled sidled amplitud och period

Amplitud

Amplitud=\text{Amplitud}=Amplitud=  Sto¨rsta funktionsva¨rdet – Minsta funktionsva¨rdet2\frac{\text{Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet}}{2}Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2 

Period

Periodicitet=\text{Periodicitet}=Periodicitet= 360k\frac{360^{\circ}}{k}360k 

Förskjutning uppåt/nedåt

y=Asink(x+v)+B y= A \sin k(x+v) + B

Om konstanten  B>0B>0B>0  förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten  B<0B<0B<0  förskjuts förskjuts kurvan nedåt.

Förskjutningen i höjdled B=Sto¨rsta funktionsva¨rdet – AmplitudenB=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}B=Största funktionsvärdet – Amplituden 

Förskjutning höger/vänster

y=Asink(x+v)+d y=A \sin k(x + v) + d

Om  v>0v>0v>0  förskjuts kurvan åt vänster.
Om  v<0v<0v<0  förskjuts kurvan åt höger.

Spegelvända en kurva

Om  sin/cos\sin/\cossin/cos föregås av ett minustecken spegelvänds kurvan i xxx-axeln.