Komplementhändelser

Exempel 1

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är $20\text{ }\%$20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn) är $P\left(\text{Inte regn}\right)$P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina! De kan lika gärna vara molnigt, snöa eller hagla.

Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att det inte regnar.

b) Då sannolikheten för $P\left(\text{Regn}\right)=0,2$P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet $P\left(\text{Inte regn}\right)=1-P\left(\text{Regn}\right)$P(Inte regn)=1−P(Regn). Vi får att

$1-0,2=0,8$1−0,2=0,8

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till $80\text{ }\%$80 %.

Exempel 2

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor.

Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa, kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete.

Händelsen ”Inte få en blå eller röd socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. Men i detta exempel är det samma händelse som ”Få en vit socka” eftersom att det inte finns några andra sockor.

Vi får då att

$P\left(\text{Få en vit socka}\right)=$P(Få en vit socka)=$\frac{10}{19}$1019 

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med $1$1 får vi att

$1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }$1−P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)

vilket ger oss sannolikheten

$1-$1− $\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx$1019 =1919 −1019 =919 ≈ $0,47$0,47

Detta motsvarar ca $47\text{ }\%$47 % chans att få en blå eller röd socka.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Då  $P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra) är komplementhändelse åt vår sökta händelse $P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)$P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.

$P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra)  $=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$=56 ·56 =2536 

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

$1-$1−   $P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-$P(Ingen fyra)=1− $\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}$56 ·56 =1136 

Exempel 4

Fröken är lite oroad över att eleverna slarvar lite med att komma i tid och inte har med sig det de behöver för att kunna arbeta vid lektionen. Hon börjar därför föra statistik över hur stor andel av eleverna som kommer i tid och har med sig en penna och bok till lektionen.

Resultatet efter en veckas undersökning visas i de tre diagrammen.

Fröken har nu gjort en överenskommelse med eleverna. Den dagen alla har med sig penna och bok och kommer i tid till lektionen ska hon bjuda alla på glass. Men de dagar en eller flera elever inte har med sig penna eller bok eller kommer försent får fröken lotta mellan de eleverna om vem som istället ska bjuda henne på glass.

Hur stor är sannolikheten att hon en slumpvis vald dag blir bjuden på glass kommande vecka, förutsatt att eleverna inte ändrar sitt beteende alls?

Lösning

Fröken blir bjuden på glass alla de dagar någon glömt en penna eller bok eller kommer försent. Att göra ett träddiagram som motsvarar kombinationen av de tre händelserna och alla olika utfall och sedan beräkna sannolikheten för alla gynnsamma grenar är ett omfattande jobb.

Men med hjälp av komplementhändelsen kan vi förenkla denna beräkning för sannolikheten eftersom att komplementhändelsen till $P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)$P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok) är sannolikheten för att $P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)$P(Alla har med penna och bok och är i tid).

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi sedan beräkna sannolikhet för att en elev åtminstone missar en av sakerna, vilket leder till att läraren blir bjuden på glass!

Sannolikheten $P\left(\text{Har boken med sig}\right)=$P(Har boken med sig)= $\frac{1}{5}=$15 =$0,2$0,2  eftersom att det är en dag, tisdag, av fem möjliga som alla eleverna haft med sig boken. Vi läser av de andra sannolikheterna till

$P\left(\text{Penna med sig}\right)=0,91$P(Penna med sig)=0,91 eftersom att $91\%$91%  av eleverna alltid har med sig penna.

$P\left(\text{Kommer i tid}\right)=0,88$P(Kommer i tid)=0,88  eftersom att $88\%$88%  av eleverna alltid kommer i tid.

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att alla dessa tre utfall inträffar samma dag.

$P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=0,2\cdot0,91\cdot0,88\approx0,16$P(Alla har med penna och bok och är i tid)=0,2·0,91·0,88≈0,16

Sannolikheten för att någon elev åtminstone missar en av sakerna är då

$P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)=$P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok)=$1-P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=$1−P(Alla har med penna och bok och är i tid)= $1-0,16=0,84$1−0,16=0,84  vilket motsvarar $84\%$84%  chans.