00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Om Aᶜ är komplementhändelsen till A så gäller att P(A)+P(Aᶜ) = 1.

Komplementhändelser

Komplementhändelse

Om  AcA^cAc är komplementhändelse till händelsen AAA gäller att

P(A)+P(Ac)=1P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1P(A)+P(Ac)=1

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera 111 med komplementhändelsen, alltså  P(A)=1P(Ac)P\left(A\right)=1-P\left(A^c\right)P(A)=1P(Ac) .

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse.

Om sannolikheten att det regnar är 20 %20\text{ }\%20 %, så är sannolikheten att det inte regnar 80 %80\text{ }\%80 %.

Därför att antingen regnar det eller så regnar det inte. Händelserna utesluter varandra och det är 100 %100\text{ }\%100 % sannolikhet att någon av de två händelserna inträffar.

På liknande vis gäller att om sannolikheten för vinst i en casino-app är 5 /0005\text{ }\mathrlap{\it{/}}{^0}_{\,00}5 ‰, så är sannolikheten att du förlorar 995 /000995\text{ }\mathrlap{\it{/}}{^0}_{\,00}995 ‰, det vill säga 99,5 %99,5\text{ }\%99,5 % risk.

Eftersom att sannolikheten för hela utfallsrummet, det vill säga alla utfall för en händelse, är lika med 111, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med 111. Detta kan vi utnyttja.

Exempel 1

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är 20 %20\text{ }\%20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till P(Regn)P\left(\text{Regn}\right)P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till P(Regn)P\left(\text{Regn}\right)P(Regn) är P(Inte regn)P\left(\text{Inte regn}\right)P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina! De kan lika gärna vara molnigt, snöa eller hagla.

Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att det inte regnar.

b) Då sannolikheten för P(Regn)=0,2P\left(\text{Regn}\right)=0,2P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet P(Inte regn)=1P(Regn)P\left(\text{Inte regn}\right)=1-P\left(\text{Regn}\right)P(Inte regn)=1P(Regn). Vi får att

10,2=0,81-0,2=0,810,2=0,8

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till 80 %80\text{ }\%80 %.

Effektivisera din beräkning

Om uppgiften kräver att du behöver beräkna sannolikheten för flera olika utfall och grenar för att hitta ditt svar kan det vara effektivare att beräkna komplementhändelsen.

Exempel 2

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor.

Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa, kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete.

Händelsen ”Inte få en blå eller röd socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. Men i detta exempel är det samma händelse som ”Få en vit socka” eftersom att det inte finns några andra sockor.

Vi får då att

P(Fa˚ en vit socka)=P\left(\text{Få en vit socka}\right)=P(Få en vit socka)=1019\frac{10}{19}1019 

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med 111 får vi att

1P(Fa˚ en vit socka) =P(Fa˚ en bla˚ eller ro¨d socka) 1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }1P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)

vilket ger oss sannolikheten

11-1 1019=19191019=919\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx1019 =1919 1019 =919  0,470,470,47

Detta motsvarar ca 47 %47\text{ }\%47 % chans att få en blå eller röd socka.

Låt oss återvända till ett tidigare exempel. Vi söker sannolikheten att få åtminstone en fyra då vi kastade två tärningar. Som vi sa, så är det endast en gren som inte är gynnsam. Nämligen grenen som motsvarar att vi inte får någon fyra alls.

Eftersom att summan av alla grenarna i träddiagrammet är lika med 111 får vi att 1P(Ingen fyra)=P(A˚tminsta˚ne en fyra.)1-P\left(\text{Ingen fyra}\right)=P\left(\text{Åtminståne en fyra.}\right)1P(Ingen fyra)=P(Åtminståne en fyra.)

Vi beräknar exemplet om fyrorna ingen, fast nu med komplementhändelsen.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Då  P(Ingen fyra)P\left(\text{Ingen fyra}\right)P(Ingen fyra) är komplementhändelse åt vår sökta händelse P(A˚tminstone en fyra)P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.

Komplementhändelse träddiagram

P(Ingen fyra)P\left(\text{Ingen fyra}\right)P(Ingen fyra)  =5656=2536=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}=56 ·56 =2536 

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

11-1   P(Ingen fyra)=1P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-P(Ingen fyra)=1 5656=1136\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}56 ·56 =1136 

I exemplet ovan är det inte så stor skillnad i jobbet som krävs om man använder komplementhändelsen eller ej. Men i andra fall blir det avgörande med denna kunskap för att kunna lösa uppgiften eller undvika att trassla in sig i stora komplicerade träddiagram.

Spara tid med komplementhändelser

När vi beräknar sannolikheter med hjälp av träddiagram kan vi upptäcka händelser där de grenar som inte är gynnsamma är mycket färre än de gynnsamma. Detta leder till att det ibland är enklare och mer effektivt att beräkna sannolikheten för de utfall som inte är gynnsamma.

Exempel 4

Fröken är lite oroad över att eleverna slarvar lite med att komma i tid och inte har med sig det de behöver för att kunna arbeta vid lektionen. Hon börjar därför föra statistik över hur stor andel av eleverna som kommer i tid och har med sig en penna och bok till lektionen.

Resultatet efter en veckas undersökning visas i de tre diagrammen.

Statistik och sannolikhet

Fröken har nu gjort en överenskommelse med eleverna. Den dagen alla har med sig penna och bok och kommer i tid till lektionen ska hon bjuda alla på glass. Men de dagar en eller flera elever inte har med sig penna eller bok eller kommer försent får fröken lotta mellan de eleverna om vem som istället ska bjuda henne på glass.

Hur stor är sannolikheten att hon en slumpvis vald dag blir bjuden på glass kommande vecka, förutsatt att eleverna inte ändrar sitt beteende alls?

Lösning

Fröken blir bjuden på glass alla de dagar någon glömt en penna eller bok eller kommer försent. Att göra ett träddiagram som motsvarar kombinationen av de tre händelserna och alla olika utfall och sedan beräkna sannolikheten för alla gynnsamma grenar är ett omfattande jobb.

Men med hjälp av komplementhändelsen kan vi förenkla denna beräkning för sannolikheten eftersom att komplementhändelsen till P(Na˚gon kommer fo¨rsent och/eller saknar penna och/eller saknar bok)P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok) är sannolikheten för att P(Alla har med penna och bok och a¨r i tid)P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)P(Alla har med penna och bok och är i tid).

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi sedan beräkna sannolikhet för att en elev åtminstone missar en av sakerna, vilket leder till att läraren blir bjuden på glass!

Sannolikheten P(Har boken med sig)=P\left(\text{Har boken med sig}\right)=P(Har boken med sig)= 15=\frac{1}{5}=15 =0,20,20,2  eftersom att det är en dag, tisdag, av fem möjliga som alla eleverna haft med sig boken. Vi läser av de andra sannolikheterna till

P(Penna med sig)=0,91P\left(\text{Penna med sig}\right)=0,91P(Penna med sig)=0,91 eftersom att 91%91\%91%  av eleverna alltid har med sig penna.

P(Kommer i tid)=0,88P\left(\text{Kommer i tid}\right)=0,88P(Kommer i tid)=0,88  eftersom att 88%88\%88%  av eleverna alltid kommer i tid.

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att alla dessa tre utfall inträffar samma dag.

P(Alla har med penna och bok och a¨r i tid)=0,20,910,880,16P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=0,2\cdot0,91\cdot0,88\approx0,16P(Alla har med penna och bok och är i tid)=0,2·0,91·0,880,16

Sannolikheten för att någon elev åtminstone missar en av sakerna är då

P(Na˚gon kommer fo¨rsent och/eller saknar penna och/eller saknar bok)=P\left(\text{Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok}\right)=P(Någon kommer försent och/eller saknar penna och/eller saknar bok)=1P(Alla har med penna och bok och a¨r i tid)=1-P\left(\text{Alla har med penna och bok och är i tid}\right)=1P(Alla har med penna och bok och är i tid)= 10,16=0,841-0,16=0,8410,16=0,84  vilket motsvarar 84%84\%84%  chans. 

Detta exempel bygger på experimentell sannolikhet. Och statistiken bygger på en väldigt liten mängd data, nämligen en veckas beteende. Detta medför att chansen att elevernas beteende ändras är stor, extra då det finns glass med i bilden. Och det i sin tur kommer förändra sannolikheten för de olika utfallen och därmed kanske öka risken att fröken får bjuda på glass.

Men det gör hon säkert gärna bara alla kommer i tid, har med sig boken och en penna!