00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är en funktion

En funktion beskriver alltid ett samband mellan två eller flera olika saker. Det samband som finns kan alltid beskrivas med en regel/formel. Vanligt är att man använder variabeln xxx och variabeln yyy för att beskriva detta samband.

I den här lektionen går vi igenom grunden i funktionsläran. Vad är en funktion? Hur beskrivs funktionen med en formel? Hur kan vi bestämma olika xxx– och yyy-värden för och med en funktion? Vi tar det från början.

Tre olika sätt att beskriva funktionen

I denna kurs kommer vi jobba med tre olika sätt att beskriva samma samband. Vi kommer beskriva funktionen med en ekvation eller formel, med en värdetabell och med en graf.

Vi ska öva på att kunna röra oss fritt mellan dessa tre olika beskrivningar av funktionens samband. 

I korthet gäller följande. Ekvationen som beskriver funktionssambandet innehåller två obekanta. Ofta ett xxx och ett yyy. Genom att sätta in olika xxx -värden i ekvationen kan du beräkna de tillhörande funktionsvärdena. Dessa talpar, xxx och yyy, kan du föra in i en värdetabell. Talparen motsvarar koordinater till olika punkter på grafen.

Viktigt att lägga på minnet är att värdena i tabellen motsvarar punkter på grafen. Och alla punkternas koordinater uppfyller likheten i funktionens ekvation.

Funktion – Ett samband mellan oberoende och beroende variabler

Låt säga att vi har ett samband mellan xx och yy, där yy alltid är dubbelt så stort som xx. Det här sambandet kan matematiskt beskrivas med formeln y=2xy = 2x.

Detta samband kallas för en funktion och är ett samband mellan ett invärde och utvärde. För varje xxx-värde vi stoppar in i formeln  y=2xy=2xy=2x, kommer vi få ut ett dubbelt så stort yyy -värde.

Variabeln som stoppas in i funktionen kallas för en oberoende variabel och motsvaras ofta i funktionssammanhang av ett xxx -värde.

Utvärdet som ges av funktionsuttrycket kallas för en beroende variabel och betecknas ofta med ett yy.

Vi skulle kunna se sambandet, eller formeln, som beskriver sambandet som en slags ”funktionsmaskin”.

Vad är funktioner

Det vi stoppar in i funktionen, i vår så kallade funktionsmaskin, är alltså det oberoende värdet, ofta xxx. Sedan händer det något med värdet inne i formeln, eller funktionsmaskinen, och ut kommer ett yy-värde.

 yyy -värdet som kommer ut är alltså beroende av vilket xxx -värde som stoppas in och vad som händer med xxx -värdet i funktionen.

Beteckningen f(x)

Man brukar använda beteckningen f(x)f(x) för funktioner, det utläses som ”f av x”, för att beskriva den formel som anger vad som händer i funktionen.

Viktigt att lägga på minnet att allt som oftast är y=f(x) y = f(x) .

Exempel 1

Bestäm f(2)f(2)f(x)=4x+1 f(x)=4x+1  

Lösning

Vi beräknar f(2)f(2), vilket utläses som ”f av två”, genom att byta ut alla xxx -värden i formeln f(x)=4x+1 f(x)=4x+1 mot en tvåa.

Vi får att då x=2x=2x=2  är
f(2)=42+1=8+1=9f(2)=4⋅2+1=8+1=9

Funktionen  f(x)f\left(x\right)ƒ (x) värde då x=2x=2x=2  är enligt våra beräkningar lika med nio. Vi skriver det som  f(2)=9f\left(2\right)=9ƒ (2)=9.

Genom att stoppa in olika xxx -värden beräknar vi funktionens olika yyy -värden.

Exempel 2

 Bestäm det tillhörande yyy-värdet då y=f(x)y = f(x) och f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2.

a) x=1x = 1

b) x=0x = 0

c) x=(1)x = (-1)

Lösning

a) Om x=1x = 1 så är f(1)=31+2=3+2=5f(1) =3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5, Dvs y=5y = 5.

b) Om x=0x = 0 så är f(0)=20+2=0+2=2f(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2, Dvs y=2y = 2.

c) Om x=1x = -1 så är f(1)=3(1)+2=3+2=1f(-1) = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1, Dvs y=1y = -1.

Dessa xxx– och  yyy -värden bildar tillsammans koordinaterna till olika punkter.

 x=1x = 1 och  y=5y = 5 bildar punkten (1, 5)\left(1,\text{ }5\right)(1, 5) 

 x=0x = 0 och  y=2y = 2 bildar punkten (0, 2)\left(0,\text{ }2\right)(0, 2)  

 x=1x = -1 och  y=1y = -1 bildar punkten (1,1)\left(-1,-1\right)(1,1) 

Dessa punkter kan man plotta ut i ett koordinatsystem och sammanbinda för att få en grafisk avbildning av funktionen eller sammanställa i en värdetabell.

Värdetabell

Genom att välja värden på xxx och beräkna det tillhörande yyy -värdet kan du få koordinater som du kan sammanställa i en värdetabell. Ovan beräknade vi funktionsvärden för  x=1x=-1x=1,   x=0\text{ }x=0 x=0  och  x=1x=1x=1 funktionen f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2. Lägger vi även till att då  x=2x=2x=2  är  y(2)=32+2=8y\left(2\right)=3\cdot2+2=8y(2)=3·2+2=8 får vi värdetabellen nedan.

Värdetabell

Du kan välja vilka xxx -värden du vill i värdetabellen så länge de tillhör definitionsmängden. Men ett tips är att i alla fall beräkna funktionsvärdet för x=0x=0x=0. När vi jobbar med linjära funktioner kommer nämligen grafen alltid skära yyy-axeln i den punkten och avslöja en del av funktionens ekvation. Men mer om det i kommande lektioner.

Som vi nämnde tidigare gäller att värdena i tabellen motsvarar punkter på grafen. Och alla punkterna uppfyller likheten i funktionens ekvation.

Grafen

Punkterna i värdetabellen kan du plotta in i ett koordinatsystem och sammanbinda med en linje. På detta sätt har du konstruerat funktionens graf.

Linjär funktion

I denna kurs kommer vi jobba mycket med de linjära funktionerna. Deras graf är alltid en rak linje. Men det finns många andra funktioner och grafer med. Men mer om de senare.

Genom att läsa av punkter i grafen kan du skapa en värdetabell och bestämma grafens ekvation.

I kommande lektioner går vi igenom mer ingående de olika beskrivningarna ekvation, värdetabell och graf och hur man kan läsa av informationen mellan dessa olika samband.

Graf och funktion

Vi kommer till största del att behandla grafer som motsvarar en så kallad funktion. Alla funktioner kan illustreras med en graf, men alla grafer illustrerar inte funktioner. För en funktion gäller nämligen följande.

En funktion är en regel som till varje tillåtet xxx-värde ger exakt ett yyy -värde.

Alla tillåtna xxx -värden, alltså xxx -värden som gör att du kan bestämma ett funktionsvärde, kallar man för en definitionsmängd. Vilka xxx-värden som är tillåtna varierar från funktion till funktion. Lär dig mer om detta i lektionen definitionsmängd och värdemängd.

Du kan undersöka om grafen illustrerar en funktion genom att du för en lodrät linje över grafen. Din lodräta linje får då endast skära grafen i en enda punkt i taget för att den ska uppfylla kriteriet för en funktion. Detta test kallas för vertikaltestet.

Vertikaltest

Exempel 3

Ange vilken eller vilka av graferna som är funktioner.

Vertikaltestet

Lösning

Grafen är en funktion om varje tillåtet xxx-värde ger exakt ett yyy -värde. Med vertikaltestet kan vi kontrollera graferna.

vertikaltestet
Vi låter en lodrät linjen förflytta sig över graferna och upptäcker att den skär i endast en punkt i tager på graferna A, B och D. Dessa är alltså funktioner. Men för de xxx -värden som är markerade i ett rött intervall i graf C gäller att en lodrät linje skär grafen i fler än en punkt samtidigt vilket innebär att att den inte är en funktion.

Exempel i videon

  • f(x)=3x+1f(x)=3x+1, beräkna f(1)f(1) och f(3)f(3).
  • Beskriv funktionen f(x)=2x+1f(x)=2x+1 med hjälp av en värdetabell och rita ut funktionen i ett koordinatsystem.